高等代数试题.doc

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1、科目名称:《高等代数》姓名:       班级:       考试时间:120分钟考试形式:闭卷≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题(每小题5分,共25分)1、在中,向量关于基的坐标为。2、向量组的秩为,一个最大无关组为.。3、(维数公式)如果是线性空间的两个子空间,那么。4、假设的特征根是,特征向量分别为。5、实二次型的秩为二、是非题(每小题2分,共20分)1、如果线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。()2、在中,定义变换,其中,是一固定的数,那么变换是线性变换。(

2、)3、设是向量空间的两个子空间,那么它们的并也是的一个子空间。()4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。()5、令是的任意向量,那么是到自身的线性变换。其中。()6、矩阵的特征向量的线性组合仍是的特征向量。()7、若矩阵与相似,那么与等价。()8、阶实对称矩阵有个线性无关的特征向量。()9、在中,若由所有满足迹等于零的矩阵组成,那么是的子空间。()10、齐次线性方程组的非零解向量是的属于的特征向量。()(第5页共5页)三、明证题(每小题××分,共31分)1、设是线性空间的一组基,是上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。(10)2、设是维欧氏空间的一个线性变幻,证明:如果是

3、对称变幻,=是单位变幻,那么是正交变换。(11)3、设是一个维欧氏空间,证明:如果都是得子空间,那么。(10)四、计算题(每小题8分,共24分)1、求矩阵的特征根与特征向量,并求满秩矩阵使得为对角形矩阵。2、求一个正交矩阵,使得使对角形式,其中。3、化二次型为平方和,并求所用的满秩线性变换。科目名称:《高等代数》姓名:       班级:       考试时间:120分钟考试形式:闭卷≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题(每小题5分,共25分)1、(3,4,1)2、秩为2,一个最大无关

4、组为3、维()+维()=维()+维()(第5页共5页)1、特征根是1,1,2,特征向量分别为5、秩为3二、是非题(每小题2分,共20分)1、(是)2、(是)3、(是)4、(否)2、(否)3、(否)4、(是)5、(是)6、(是)10、(是)三、明证题(每小题××分,共31分)1、证明设可逆,则存在,且也是的线性变换,(1)若线性相关,则,(2)即也线性相关,这与假设是基矛盾,故线性无关。(5)反之,若线性无关,因是维线性空间,故它也是的一组基,(7)故对中任意向量有,即存在,使,故为到上的变换。(8)若又有,使,即,因为是基,,即,从而又是一一的变换,故为可逆变换。(10)2、证:,(4)=,(

5、8)=,(10)=0,(11)(第5页共5页)3、证:(1),(5)同理,(8)则。(10)四、计算题(每小题8分,共24分)1、解:=,则的特征根为,,(3),它们对应的特征向量分别为,(6)易知线性无关,取,那么就得。(8)2、解:,则特征根为,(3)对应它们的线性无关的特征向量分别为,(6)他们单位化后分别为,取正交矩阵,(7)则,。(8)3、解,,得(2)整理得(4)(第5页共5页)在令,,(6),,(8)(第5页共5页)

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