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1、华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题以下各题每题15分,共150分23⎧x++=axaxa,123⎪231．解线性方程组⎨x++=bxbxb,其中abc,,为互不相等的数．123⎪23x++=cxcxc,⎩1232．证明:任一n阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有kE形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.T3．设A为mn×实矩阵,E为阶单位阵,nB=+λEAA,证明:当λ>0时,B为正定矩阵.*4.设A为n阶不可逆方阵,证明:A的伴随矩阵A的特征值至少有n−1个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于AA+++LA.1122n
2、n5.证明:相似的矩阵有相同的最小多项式.6.设A为mn×矩阵,b为m维列向量,证明AX=b有解的充分必要条件是对满足TTAz=0的m维列向量也一定满足zbz=0.7.证明:任一n阶实可逆矩阵A可以分解成一个正交阵Q与一个正定阵S之积,即A=QS.nn×8.设M∈P,f(),()xgxPx∈[],且((),())1fxgx=.令A=fM(),B=gM(),WWW,,分别为线性方程组ABX=0,AX=0,BX=0的解12空间.证明WWW=⊕.129.设Ω是一些n阶方阵组成的集合,其中元素满足∀AB,∈Ω,都有AB∈Ω,且3()AB=BA,证
3、明:(1)交换律在Ω中成立.(2)当E∈Ω时,Ω中矩阵的行列式的值只可能为,0±1.2210.证明:不存在n阶正交阵A,B,使得AA=BB+.华中科技大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答1.所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式21aa2Db=1b=()bacacb−−−()()21cc因为abc,,互不相等,故D≠0.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取32aaa32Dbbb==abcbacacb()−()−−()132ccc321aa32Db=1b=()abacbcbacacb++(−−−)()()2321cc31aa
4、3Db=1b=()abcbacacb++(−)(−)(−)331cc那么方程组的唯一解为DDD111x==abc,x==++abacbc,x==++abc.■123DDD2.设A是任一个阶方阵,nAa=().假设A可以写成ijnn×AkEB=+的形式,其中k为数域P中的一个数,Bb=()是一个迹为0的矩阵.那么ijnn×bb+++=Lb01122nnakbi=+,1=,2,,Kniiiiabij=≠=,,ij,1,2,,Kn.ijij于是nnn∑∑akii=+=()biinkb+=∑iink,ii==11i=1即n1ka=∑ii.ni=1
5、从akb=+得iiiin1bakaii=−=−iiii∑ajj.nj=1取n1ka=∑ii,ni=1n⎧1⎪aaii−∑jj,,若i=jbij=⎨nj=1⎪aij若≠,⎩ij,那么Bb=()是一个迹为0的矩阵,且AkEB=+.■ijnn×3.对于任一个非零实n维列向量⎛⎞c1⎜⎟C=M,⎜⎟⎜⎟c⎝⎠n有⎛⎞c1T⎜⎟22CCc==(,,)KMcc+L+c>011nn⎜⎟.⎜⎟c⎝⎠n令⎛⎞d1⎜⎟AC=M,⎜⎟⎜⎟d⎝⎠n那么⎛⎞d1TTT⎜⎟22C()()()(,,)AAC==ACACdKMd=d+L+d≥011nn⎜⎟.⎜⎟d⎝⎠n
6、由于λ>0,故TCBCTTTTT=+=+CEA()λλACCCCA(A)C2222=+λ()ccddLL+++()+11nn22≥+λ()ccL+1n>0由正定矩阵的定义知,B是正定矩阵.■4.设A是数域P上的n阶不可逆方阵,则rankAn<,
7、
8、A=0.∗∗若rankAn<−1,则A的所有n−1阶子式都为0,从而A的元素A=0.这时A=0.ij∗显然,A的n个特征值都是0,结论成立.∗若rankAn=−1,则A至少有一个n−1阶子式不为0,故A≠0,∗rankA≥1.(1)∗∗由AA===
9、
10、00AEE知,A的每个列向量都是齐次线性方程
11、组AX=0的解向量.设n∗VXPA=∈{
12、X=0},A=(,,,)αααK.12n由线性空间的理论和线性方程组的理论知∗rankA=dimL(,,,)αααK≤dimV=n−rankAnn=−−=(1)1.(2)12n∗由(1),(2)知rankA=1.∗nn×因为rankA=1,故存在可逆矩阵TP∈,使得⎛⎞cc12Kcn⎜⎟00K0TA∗=⎜⎟,⎜⎟MMM⎜⎟⎝⎠00K0其中cc,,KcP∈,且不全为零.这时12n⎛⎞dd12Kdn⎜⎟00K0TAT∗−1=⎜⎟,⎜⎟MMM⎜⎟⎝⎠00K0−1∗其中(,,ddKKd)(,,=cccT)
13、,而dd,,Kd不全为零.注意A的特征多项式为12nn1212nλ−−ddK−d12n00λK∗∗−11n−
14、
15、λλEA−=−
16、ETAT
17、==λ(λ−d).1MMOM00Kλ∗∗因此,当d=0
