2011-2012扬州大学第二学期高等代数试卷A.doc

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1、2011-2012扬州大学第二学期高等代数试卷A数学与财经系数学与应用数学专业级1、2班答卷说明：1、本试卷共3页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。2、字迹工整，卷面整洁。题号一二三四总分总分人题分30203020核分人得分复查人得分一、填空：(每空2分，共20分)评卷人1、实二次型的矩阵为；2、设为实数域上由矩阵的全体实系数多项式组成的空间，其中，则的一组基为；3.设与是的两个子空间，则+是直和的充分必要条件是；4、在欧氏空间中，向量，，那么＝，＝；5、复矩阵的全体特征值的和等于，而全体特征值的积等于。6、已知三维欧氏空间中有一组基，其度量矩

2、阵为，则向量的长度为，向量与的距离为。7、已知是的一个子空间，则＝，它的一组基；8、已知的两组基（Ⅰ）：和（Ⅱ），又的线性变换满足：，则在基（Ⅱ）下的矩阵为；基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为；9、若矩阵的特征值是，则的特征值是；10、已知二次型，则当满足时，二次型是正定的。二、判断：(正确的用“√”表示，错误的用“×”表示，每小题2分，共20分)得分评卷人1、在线性空间中，是的解空间，是的解空间，是的解空间，则。（）2、在全体二维实向量集合中,按如下规定的加法与数乘运算：，构成的线性空间中，向量与是线性相关的；（）3、若都是的线性变换，且，则的核与值域都

3、是的不变子空间；（）4、数乘变换在任何基下的矩阵都相等；()5、对于欧氏空间中任意向量，是中一个单位向量；()6、是维欧氏空间的一组基，分别是中的向量在这组基下的坐标，则；（）7、线性变换的特征向量之和仍是特征向量；（）8、是上的4维线性空间；（）9、两个级正交矩阵之和是正交矩阵；（）10、欧氏空间的内积是一个双线性函数.()扬州大学高等代数得分三、计算题：(每小题15分，共30分)评卷人1、设,是四维线性空间的一组基,已知线性变换在这组基下的矩阵为（1）求在基,下的矩阵;（2）求的特征值与特征向量.密封线内不要答题密封线系学号姓名装订线2.设二次型，

4、求一正交变换化为标准形。密封线内不要答题密封线系学号姓名装订线扬州大学高等代数得分四、证明题：(每小题10分，共20分)评卷人1、设是级实对称矩阵且正定，为实矩阵，证明：为正定矩阵的充要条件是.密封线内不要答题密封线系学号姓名装订线2、设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：，，也是一组标准正交基。