高等代数2011-2012第一学期shijuan(a)

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1、高等代数（北大版）第一学期考试卷课程名称：《高等代数》任课教师：杨鸣赵晓东（A卷）考试（考查）：考试时间：2007年1月日本试卷共6页，满分100分；考试时间：120分钟题号一二三四总分阅卷教师签名12312得分得分评卷人一．选择题（本大题共8个小题，每空4分，共32分．请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）．1．若阶矩阵A与B相似，则【】A．A与B有相同特征值B．A与B有不同特征值C．A与B有相同特征向量D．A与B有不同特征向量2．下列向量组中，线性无关的是【】A．B．C．D．，其中任一向量都不能表成其余向量的线

2、性组合．3．已知是向量空间的两个基，则从基到基的过渡矩阵为【】A．B．C．D．4．下列子集中,作成向量空间Rn的子空间的是【】A．B．C．D．5．欧氏空间V的线性变换是对称变换的充要条件是，都有【】A．B．C．D．把V的规范正交基变成V的规范正交基6．设矩阵A为n阶方阵且

3、A

4、=0，则【】A．A中必有两行或两列的元素对应成比例．B．A中至少有一行或一列的元素全为零；C．A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；D．A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合．7．设是维向量空间，的维数为【】A．B．C．D．无限维8．设是欧氏空间V的

5、规范正交基，且，，，则【】A．B．C．D．得分评卷人二．填空题（本大题共5个小题，每空4分，共20分．请将正确结果填在题中横线上）．1．三阶方阵A的特征多项式为，则．2．设，则向量是A的属于特征根的特征向量．3．为阶正交矩阵，且，则．4．取时，向量组，线性相关．5．若A是正交矩阵，，要使kA为正交矩阵，则k=．得分评卷人三．计算题（本大题共3个小题，共28分．请写出必要的推演步骤和文字说明）．1．（本小题6分）在向量空间中，求由向量组所生成子空间的基和维数．2．（本小题8分）设表示数域F上次数小于3的多项式连同零多项式构成的向量空间，定义映射：．1）

6、验证是线性变换；2）求线性变换在基下的矩阵．3．（本小题14分）对实对称矩阵求一个正交矩阵U，使为对角形矩阵．得分评卷人四．证明题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分，须写出必要的推理过程和文字说明）．1．设都是一个欧氏空间的向量,且是的线性组合．证明：如果与正交,,那么．2．设是三维欧氏空间的一个标准正交基，证明：也是的一个标准正交基．