高等代数2011-2012第一学期试卷参考答案及评分标准

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1、高等代数2011-2012第一学期参考答案及评分标准（A卷）一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）.1．设A、B、C都是n阶矩阵，则下列说法中正确的是【D】A．AB=BAB．若AB=AC，则B=CC．r(AB)=r(A)+r(B)D．若A、B都可逆，则AB可逆2．设A、B为n阶方阵，A≠0，且AB=0，则下列成立的是【A】A．

2、B

3、=0或

4、A

5、=0B．BA=OC．D．B=O3．下列关于多项式的说法中错误的是【B】A．奇数次实系数多项式一定有实根B．若在有理数域上可约,则一定存在有

6、理根C．若，则D．若是的k重因式，则是的k-1重因式4．设，且，若，则【C】A．B．C．D．5．设A是数域F上的矩阵，若A的秩等于，则【D】A．至多有一个阶子式不为零B．所有阶子式都不为零C．所有阶子式不为零D．所有阶子式都为零6．设A为m×n矩阵，则下列叙述中正确的是【B】A.当m=n时，齐次线性方程组AX=0仅有零解B.当m＜n时，齐次线性方程组AX=0有非零解C.当m≥n时，非条线性方程组AX=B有唯一解D.当m＜n时，非齐线性方程组AX=B有无穷多解7．已知是5阶行列式中的一项，且带正号，其中，则的值是【C】A．4B．3C．2D．18．用初等矩阵左乘矩阵A得

7、到，其结果相当于【A】A．用数乘以的第行加到第行上B．用数乘以的第行加到第行上C．用数乘以的第列加到第列上D．用数乘以的第列加到第列上二．填空题（本大题共8个小题，每空3分，共24分.请将正确结果填在题中横线上）.1．设，则；2．设A是3阶方阵，是A的伴随矩阵，，则=125；3．（ax-b）除多项式f（x）的余式为；4．把表示成的方幂和为；5．=；6．设，则=；7．至少是多项式的二重根，则=−5；8．行列式的展开式中，x的系数是2.三．计算题（本大题共4个小题，共28分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.1．（本小题6分）解矩阵方程：解：，2分4分=6分2．（本小题

8、6分）为何值时，齐次线性若方程组有非零解，并求出它的一般解.解：组有非零解，得=32分增广矩阵4分易知组的通解为（为自由未知量）5分取，得一般解6分3．（本小题6分）已知是多项式的一个根，求其余的根；并写出在C上的典型分解式.解：因是的根,所以,也是的根,从而2分所以,的典型分解式为:6分4．（本小题10分）求解含参数的线性方程组.解:对增广矩阵施行行初等变换4分对参数a讨论如下:(1).当,方程组有唯一解;6分(2).当,方程组有无穷多解8分(3).当,方程组无解.10分四．证明题：（本大题共3个小题，共24分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.1．（本小题7

9、分）设，求证：

10、

11、；证明：3分令不整除，则6分所以不整除，与题设矛盾7分2．（本小题7分）A为n阶方阵，且=I，，证明：不可逆.证明:因5分所以,7分故不可逆.7分3．（本小题10分）设为非零多项式，且是一个不可约多项式,证明：;证明：用反证法.若与不互素，不妨令，则从而；2分又不可约，故存在，使，所以4分与＞0矛盾，所以