高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案

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1、1．在里一定能整除任意多项式的多项式是【B】．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式2．设是的一个因式，则【C】．4．3．2．13．,是阶方阵，则下列结论成立的是【C】.且.．或.4．设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个不可逆【B】..．.5．设为3阶方阵，且，则【A】..．.6．设为阶方阵的伴随矩阵，则=【D】..．.7．下列对于多项式的结论正确的是【D】.如果，那么.如果多项式在有理数域上可约,则它一定存在有理根.每一个多项式都有唯一确定的次数.奇数次实系数多项式必有实根8．方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为【A】.（为可逆矩阵）.（为初等矩阵）．.原方程组前个

2、方程组成的方程组1．把表成的多项式是；2．设，，若，则6，8；2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页3．当k=5，l=4时，5阶行列式的项取“负”号；4.设，则-20；5．设n>2,为互不相等的常数，则线性方程组的解是(1,0,…,0)；6．=.三．计算题（本大题共4个小题，共34分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.得分评卷人1．（本小题6分）.2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页:得分评卷人2．（本小题8分）为何值时，齐次线性若方程组有非零解，并求出它的一般解.解:组有非零解，得--------2分对系数矩阵施行行初变

3、换如下:--------6分故一般解为(为自由未知量)---------8分得分评卷人3．（本小题8分）设=，，求.2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页解:易知--------2分而--------6分故--------8分得分评卷人4．（本小题12分）取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解.解:对增广阵施行行初变换如下:---------4分易知1)当,即时,,组有唯一解---------8分2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页2)当时,未知量个数,组有无穷多解(为自由未知量)--------

4、-10分3)当时,,组无解---------12分四．证明题：（本大题共2个小题，共18分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.得分评卷人1．（本小题10分）证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和.证:设A为m×n矩阵且秩A=r，则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵Q，使----------2分又----------4分----------8分由于秩Bk=秩（P-1ErrQ-1）=秩Ekk=1所以A可表成r个秩为1的矩阵之和.----------10分得分评卷人2．（本小题8分）设是一个整系数多项式，证明：若与都是奇数，则不能有整数根.证明:用反证法假设有整

5、数根,则,其中为整系数多项式,--------3分于是--------5分即2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页但与都是奇数,而不同为奇数,因而矛盾.----------7分故不能有整数根----------8分2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页