高等代数(北大版)2011-2012第一学期考试卷A答案

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1、高等代数（北大版）2011-2012第一学期考试卷答案（A卷）考试（考查）：考试时间：2007年1月日本试卷共6页，满分100分；考试时间：120分钟题号一二三四总分阅卷教师签名12312得分得分评卷人一、选择题（本大题共8个小题，每空4分，共32分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）.1、若阶矩阵A与B相似，则【A】Ａ.A与B有相同特征值B.A与B有不同特征值C.A与B有相同特征向量D.A与B有不同特征向量2、下列向量组中，线性无关的是【D】A．B．C．D．，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合.3、已知是向量空间的两个基，则从基到基的过渡

2、矩阵为【A】A．B．C．D．4、下列子集中,作成向量空间Rn的子空间的是【B】A．B．C．D．5、欧氏空间V的线性变换是对称变换的充要条件是，都有【C】A．B．C．D．把V的规范正交基变成V的规范正交基6、设矩阵A为n阶方阵且

3、A

4、=0，则【C】A．A中必有两行或两列的元素对应成比例．B．A中至少有一行或一列的元素全为零；C．A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；D．A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合．7、设是维向量空间，的维数为【B】A.B.C.D.无限维8．设是欧氏空间V的规范正交基，且，，，则【A】A.B.C.D.得分评卷人二、填空题（本大题共5个

5、小题，每空4分，共20分.请将正确结果填在题中横线上）.1、三阶方阵A的特征多项式为，则-3.2、设，则向量是A的属于特征根4的特征向量．3、为阶正交矩阵，且，则-1．4、取3/2时，向量组，线性相关.5、若A是正交矩阵，，要使kA为正交矩阵，则k=±1.得分评卷人三、计算题（本大题共3个小题，共28分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.1、（本小题6分）在向量空间中，求由向量组所生成子空间的基和维数；解:（解法不唯一）令.则只对A施行行初变换即可.2分.4分故为所求的一个基,生成子空间的维数是2.6分2、（本小题8分）设表示数域F上次数小于3的多项式连同零多项式构成的向量空间，定义映

6、射：1）验证是线性变换；2）求线性变换在基下的矩阵.解:1)有故是上的线性变换（也可用线性变换定义验证）3分2)因为4分5分6分关于基的矩阵为:8分3、（本小题14分）对实对称矩阵求一个正交矩阵U，使AU为对角形矩阵.解：所以特征根为－１，５（二重）　　　　　　　　　　　　　　　　　　４分当时，对应齐次线性方程组为其基础解系为　　　　　　　　　　７分正交化得　　　　９分当时，对应齐次线性方程组为其基础解系为，化为为单位向量为　11分所以正交矩阵　　　　　13分且使得　　　　　14分得分评卷人四、证明题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分，须写出必要的推理过程和文字说明）1．设都是

7、一个欧氏空间的向量,且是的线性组合.证明：如果与正交,,那么.证明:令,则3分每式2分,计9分所以β=010分2．设是三维欧氏空间的一个标准正交基，证明：也是的一个标准正交基证明：（证明方法不唯一）由到的过渡矩阵为4分8分也是标准正交基.10分