第4讲指数与对数函数

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1、第4讲指数与对数函数【例1】解答下述问题：（1）计算：[解析]原式=（2）计算.[解析]分子=；分母=；原式=.（3）化简：[解析]原式=.（4）已知：值.[解析].【例2】解答下述问题：（1）已知，求证：[解析]，=（2）若，求的值.[解析]去分母得，、是二次方程的两实根，且，解得，【例3】已知是奇函数（其中，（1）求的值；（2）讨论的单调性；（3）当定义域区间为时，的值域为，求的值.[解析]（1）对定义域内的任意恒成立，，当不是奇函数，，（2）定义域为，设，任取，，，结论同上；（3）上为减函数

2、，命题等价于，即，解得.【例4】对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；（4）若函数的定义域为，求实数a的值；（5）若函数的值域为，求实数a的值；（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.[解答]记，（1）恒成立，，的取值范围是；（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”，这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”，的值域为∴命题等价于，

3、∴a的取值范围是；（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，，的取值范围是；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为，是方程的两根，即a的值为2；（5）由对数函数性质易知：的值域为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能取遍的一切值（而且不能多取）.∵的值域是，∴命题等价于；即a的值为±1；（6）命题等价于：，即，得a的取值范围是.【例5】解答下述问题：（Ⅰ）设集合，若当时，函数的最大值为2，求实数a的值

4、.[解析]而，令，，其对称轴，①当，即，适合；②当，适合；综上，.（Ⅱ）若函数在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值.[解析]，令，∴抛物线的对称轴为，①当，不合；②当时，，适合；综上，【例6】设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.[解析]（1）原方程为，，时方程有实数解；（2）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①、②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程

5、无解.《训练题》一、选择题：1．若N*，则（）A．2B．C．D．2．若，则（）A．4B．16C．256D．813．当时，的大小关系是（）A．B．C．D．4．若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．5．函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为（）A．[0，1]B．[1，2]C．[2，4]D．[4，16]二、填空题：6．计算.7．函数是减函数，则实数a的取值范围是.8．若，则实数k的取值范围是.9．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是.三、解答题：10．已知的值.11．已知函数，（1）求的定义域

6、；（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？（3）当a、b满足什么条件时恰在取正值.12．在函数的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为、、，若△ABC的面积为S，求函数的值域.15．已知函数，（1）讨论的奇偶性与单调性；（2）若不等式的解集为的值《作案与解析》一、选择题：1.A2.C3.B4.D5.D6.A二、填空题7．108．9．10．11．，，，而，.12．（1），又，故函数的定义域是.（2）问题的结论取决于的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法：①求导，②运用单调性

7、定义，③复合分析，但以方法①最好.（解一）求导得：，，，在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（解二）任取，则，，即在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（3）在单调递增，∴命题等价于：，13．，（1）当，即时，；（2）当，即时，上单调递减，，值域为.14．设A、B、C在轴上的射影分别为A1、B2、C1，，令，，的值域为15．（1）定义域为为奇函数；，求导得，①当时，在定义域内为增函数；②当时，在定义域内为减函数；（2）①当时，∵在定义域内为增函数且为奇函数，；②当在定义域内为减函数且为奇函数，；

8、（3）R）；（4），；①当时，不等式解集为R；②当时，得，不等式的解集为；③当