上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(解析版)

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2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下）期中数学试卷　一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为　　．2．复数z=（m2﹣m﹣4）+（m2﹣5m﹣6）i（m∈R），如果z是纯虚数，那么m=　　．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为　　．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=　　．5．若复数|z﹣3i|=5，求|z+2|的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有　　条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是　　．8．已知集合A={z|z=i+i2+i3+…+in，n∈N*}，B={z|z=z1•z2，z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有　　个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+=　　．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为　　．　二、选择题（4×4=16）11．下列命题中，错误的是（　　）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面α第19页（共19页） D．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是（　　）A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1，z2满足|z1﹣|=|1﹣z1z2||，则有（　　）A．|z1|＜0且|z2|＜1B．|z1|＜1或|z2|＜1C．|z1|=1且|z2|=1D．|z1|=1或|z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（　　）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°　三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜|z1|，求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）第19页（共19页） 17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为Pz，（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若Pz在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则Pz在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段）．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1　第19页（共19页） 2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析　一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为　3﹣2i　．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3，2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2），则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i　2．复数z=（m2﹣m﹣4）+（m2﹣5m﹣6）i（m∈R），如果z是纯虚数，那么m=　　．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=，故答案为：　3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为　90°　．【考点】LM：异面直线及其所成的角．第19页（共19页） 【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解：∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．　4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=　2　．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β，AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．第19页（共19页） 　5．若复数|z﹣3i|=5，求|z+2|的最大值和最小值．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解：如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0，3）为圆心，5为半径的圆．|z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0）的距离，由题设z所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴|AC|==．∴|z+2|max=5+，|z+2|min=5﹣．　6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有　2　条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a，b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，第19页（共19页） 过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°，过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．　7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是　30　．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解：圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=，∴AB==30．故答案为：30．　第19页（共19页） 8．已知集合A={z|z=i+i2+i3+…+in，n∈N*}，B={z|z=z1•z2，z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有　7　个．【考点】15：集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得：集合A={1，1+i，i，0}，进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0}．【解答】解：由题意可得：集合A={z|z=1+i+i2+…+in，n∈N*}={1，1+i，i，0}，所以B={z|z=z1•z2，z1、z2∈A}={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．　9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+=　﹣2　．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．利用是实数，可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数，∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，第19页（共19页） ∴+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32=0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．　10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为　　．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=，故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为　二、选择题（4×4=16）11．下列命题中，错误的是（　　）第19页（共19页） A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确；D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．　12．下列命题中，错误的是（　　）A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦，∴当另一半为底面直径时截面最大，故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ，则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角，则当θ=第19页（共19页） 时，过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分，截面为圆，故D正确．故选C．　13．已知复数z1，z2满足|z1﹣|=|1﹣z1z2||，则有（　　）A．|z1|＜0且|z2|＜1B．|z1|＜1或|z2|＜1C．|z1|=1且|z2|=1D．|z1|=1或|z2|=1【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1，z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣|=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1|=1或|z2|=1．故选：D．　14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（　　）第19页（共19页） A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．第19页（共19页） 　三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜|z1|，求a的取值范围．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1，然后代入＜|z1|，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i，于是=|4﹣a+2i|=，|z1|=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．　16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）第19页（共19页） 【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．（2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），E（0，1，），=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=（0，0，1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=（0，1，），=（1，2，0），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2），平面ACD的法向量=（0，0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，第19页（共19页） 则cosθ=||==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．　17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】第19页（共19页） （1）作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；（2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：（1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB，则OB==2，设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角，∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．　18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为Pz，（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若Pz在圆C上，则（b，c）在线段s上；②第19页（共19页） 若（b，c）是线段s上一点（非端点），则Pz在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段）．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b，c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）①求出虚根，虚根在定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②（b，c）是线段s上一点（非端点），实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根Pz，可推出Pz在圆C上．（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：（1）由题意可得2b+c=0，解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点Pz代入圆C1的方程，等号成立，∴Pz在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上（2）当△＜0，即b2＜c时，解得，∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2，∵△=4（b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2，∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2，b∈[﹣m﹣r，﹣m+r]若（b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）第19页（共19页） 此时△＜0，且点在圆C上（3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=5　第19页（共19页） 2017年6月18日第19页（共19页）