夯实基础提高能力

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1、夯实基础提高能力——数列复习指导（2004年9月13日刊登在《数字世界报》高中版）江苏省天一中学何志奇从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个从定义为正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，因此用函数的知识来研究数列是十分重要的思想方法。数列：既与函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理、极限有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征。试题形成了综合性强、立意新、角度宽、难度大的特点，故而在解题中务必注重基础、凸现能力。1．注重基础、凸现能力例1：在等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=8，a4+a

2、5+a6=－4，则数列前15项的和S15为（）A、B、C、5D、15分析：该题如果运用方程的思想，求数列{an}的首项a1和公比q之后再求S15，则运算量较大。若灵活地将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解，灵活地运用基础知识达到目的。解析：设b1=a1+a2+a3=8；b2=a4+a5+a6=－4；…，b5=a13+a14+a15则b1，b2，b3，b4，b5构成一个等比数列，其首项为8，公比为－故S15=S5＇=b1+b2+b3+b4+b5=选（A）小结：客观题中

3、的数列问题除考查基础知识的掌握情况外，还注意考查学生思维的灵活性，故平时应做到小题巧解，小题活解。练习1：若无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，多项和为S，且S=Sn+2an，则{an}的公比为（）A、－B、C、－D、答：（B）练习2：等比数列{an}中，a1=512，公比q=－，用πn表示它的前n项之积：πn=a1·a2·…an，则π1，π2，…中最大的是（）A、π11B、π10C、π9D、π8答：（C）2．巧用性质解决问题例2：数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=γ（γ＞0），bn=anan+1，且{bn５AGE}是公比为q（q＞0）的

4、等比数列，设cn=a2n－1+a2n（n∈N*）（1）求{cn}的通项公式；（2）设，求数列{dn}的最大项和最小项的值.分析：根据{bn}是等比数列，可列出通项bn，从而得到anan+1，即有数列{an}的递推关系，然后再研究数列{an}。解析：（1）∵{bn}为等比数列，公比为q故数列a1，a3，a5，…，a2n－1和数列a2，a4，a6，……，a2n都为等比数列，且公比都是q。故a2n－1=a1qn－1=qn－1，a2n=a2qn－1=γqn－1∴Cn=a2n－1+a2n=qn－1+γqn－1=（γ+1）qn－1（n∈N*）（2）∵γ=219

5、.2－1，q=∴从上式可知，当n－20.2＞0，即n≥21（n∈N*）时，dn随n增大而减小，故有1＜dn＜d21=1+=2.25…………………………（1）当n－20.2＞0，即n≤20（n∈N*）时，dn也随n增大而减小，故有1＞dn＞d20=1+=－4…………………………（2）综合（1）、（2）两式知，对任意n∈N*，有d20≤dn≤d21∴{dn}的最大项d21=2.25，最小项d20=－4小结：（1）数列{an}是奇数项和偶数项分别成等比的数列，但{an}并不一定成等比，若要写出an的通项应是一分段函数５AGE（2）在求的最大项和最小项时用

6、的是函数的性质函数f（x）的图象关于点（20.2，1）成中心对称。当x小于20.2而趋向于20.2时，f（x）趋向于－∞，当x大于20.2而趋向于20.2时，f（x）趋向于+∞，故d20≤dn≤d21，即d21最大，d20最小，数列是特殊的函数。练习3：已知函数f（x）=logax（a＞0，且a≠1），若数列2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n+4（n＞0，且n∈N）成等差数列。（1）求数列{an}的通项an；（2）若数列{an}的前n项和为Sn，当0＜a＜1时，求；（3）令bn=anf（an），当a＞1时，试比较bn与bn－1的大小.

7、答：（1）an=a2n+2；（2）；（3）bn+1＞bn3．结合解几探索分析例3：已知数列{xn}的各项为不等于1的正数，其前n项和为Sn，点Pn的坐标为（xn，Sn），若所有这样的点（Pn=（n=1，2，…）都在斜率为k的同一直线上（常数k≠0，1）（1）求证：数列{xn}是等比数列；（2）设（2a2－3a+1）满足，其中a为常数，且1＜a＜，而s，t∈N*，且s≠t，试判断，是否存在自然数M，使当n＞M时，xn＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由。分析：（1）根据（Sn+1－Sn）：（Xn+1－Xn）=k探求正比；（2）考虑数

8、列解析：（1）略（2）由知2a2－3a+1∈（0，1）易知 常数，由已知可得是首项为正数，公差为－2的递减的等差数列，故一