二次函数图像的应用

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1、摘要：二次函数图象具有对称性，充分、合理地使用这一特性，对于解决有关二次函数的问题，会使问题得到的正确、高效的解答，同时它也是一种重要的解题途径。关键词：二次函数，抛物线，对称。我们知道二次函数图象是一条具有对称性的抛物线，合理使用抛物线的这一特征，对于解答有关二次函数的一类问题，会取得很好的效果，近年的中考命题及初中数学竞赛，涉及这方面的题目不断出现，并产生了不少的上佳题目。本文试就初中毕业班总复习阶段，在二次函数这部分内容教与学上，如何引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题，谈谈教学感想和体会。一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线。2、对于抛物线上两个不同点P1（），

2、P2（），若有，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC是等腰三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的对称轴上。二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A（-1

3、，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。解题分析：注意到图象所过的两个点A、B，都在x轴上，故可由性质3，容易得到该抛物线的对称轴是直线x=1，进而得出该抛物线的顶点坐标是（1，-8），所以，可以用顶点式先设出所求的二次函数形式，再用待定系数法，求得结果。从本题可得到这样的经验：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。

4、解题分析：本题是2003年厦门中考试题，原题目中的第一个问题是先“求证此抛物线与轴总有两个不同的交点”在此略去。以下只针对本题中的第（2）个问题进行讨论，并由第（1）个问题求解知该抛物线的函数解析式是；注意到P、Q两点是关于此抛物线的对称轴对称，且抛物线的对称轴是直线，由性质2可得：，所以就有。在此法求解过程，我们不难发现原题中的“P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点”，这一条件是多余的，因为若P、Q两点是相同的一个点，且关于对称轴对称时，这样P点就只能是顶点了，而这时解题中所得的结论一样是成立的。例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵

5、坐标为-8的另一点的坐标是。（2005年山东中考试题）解题分析：本题若按常规的解法是先由已知的A、B、C三点的坐标求出抛物线的函数关系式，然后再用=-8，求出横坐标，进而得到答案。这样做显然没有充分利用到题中所隐含的特性----（1）A、B两点的纵坐标是相同的!（2）要求的纵坐标是-8的另一个点与C点的纵坐标相同！也就是所求点与C点关于抛物线的对称轴对称！由（1）的特点，即可求得该抛物线的对称轴是直线=2，因此与C点关于抛物线的对称轴对称的点坐标是（1，-8），这就是所求的答案。例4已知抛物线的顶点A在直线上。（1）求抛物线顶点的坐标；（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的

6、坐标；（3）求∆ABC的外接圆的面积。（初三总复习第二次月考试题）解题分析：以下只对第（3）步加以讨论，并设由第（1）、（2）步求解知A（2，-9），B（-1，0），C（5，0）。注意到抛物线的对称轴是直线=2，且B、C两点关于抛物线的对称轴对称，A是抛物线的顶点，故∆ABC是等腰三角形，由性质（5）可知，∆ABC的外接圆圆心D在对称轴上，（图略）设对称轴与x轴交于点E，连结DB、DC，则有DA=DB=DC=r（外接圆的半径），因为CE=3，AD=9，所以，DE=9-r，在Rt∆DEC中，有CE2=AD2+DE2，即r2=（9-r）2+32，解得，r=5，故S⊙D=25例5若函数，

7、则当自变量取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是（）（1999年全国初中数学联合竞赛）（A）540（B）390（C）194（D）97解题分析：记，，则，注意到二次函数图象的对称轴是直线=50，且当=1时，=97>0，所以=97，这时有=97，由对称性知当=99时，=97，所以=97，这时有=97，而当自变量在2到98中取值时，因的值是小于或等于零，故所得到的的值均为零，又当=100时，==196，所以这时的值为196，这样就可知当自变量取1，2，3，