二次函数图像的性质和应用

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1、二次函数的图象与基本性质（一）、知识点回顾【知识点一：二次函数的基本性质】y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋ky＝ax2＋bx＋c开口方向顶点对称轴最值增减性【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】（1）a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向________；a<0，开口向________（2）c决定抛物线与________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________；c=0，图像与y轴的交点在___________；c<0，图像与y轴的交点在___________；（3）a，b决定抛物线对称轴的位置，我们总

2、结简称为：___________；（4）△＝b2－4ac决定抛物线与________交点情况：△＝b2－4ac【知识点三：二次函数的平移】设，将二次函数向右平移m个单位得到___________；向左平移m个单位得到___________；向上平移n个单位得到___________；向下平移n个单位得到___________。简单总结为___________，___________。（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】二次函数，当时，即变为一元二次方程，从图象上来说，二次函数的图

3、象与x轴的交点的横坐标x的值就是方程的根。【知识点五：二次函数解析式的求法】（1）知抛物线三点，可以选用一般式：，把三点代入表达式列三元一次方程组求解；（2）知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：；其中抛物线顶点是；（3）知抛物线与x轴的交点坐标为可选用交点式：，特别：此时抛物线的对称轴为直线（二）、感悟与实践例1：（1）求二次函数y＝x2－4x＋1的顶点坐标和对称轴.（2）已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．变式练习

4、1-1：二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．例2：已知二次函数的图象如图1所示，则有：y-1x图1图4x=1（1）a___0,b___0,c___0（2）b2－4ac___0（3）a+b+c___0图2（4）a-b+c___0变式练习2-1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤变式练习2-2：已知二次函数的图像如图3所示，那么一次函数和反

5、比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（　　）AB图3CD例3：（2012•广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（　　）A．y=x2﹣1　　B．y=x2+1　　C．y=（x﹣1）2　　D．y=（x+1）变式练习3-1：（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）A．　　B．　C．D．例4：二次函数的部分图象如图4所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解=（　　）A、1B、C、D、0 图4图6yxBACO变式练习5-1：（2009广州25）如图6，二

6、次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为．（1）求该二次函数的关系式；二次函数的性质的综合应用例1.已知抛物线（或）（1）把它配方成的形式；（2）写出抛物线的开口方向，顶点的坐标、对称轴方程；(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值。(4)当-2

7、大小（10）观察图象，当取何值时，；（11）当x取何值时，y<2;（12）求△PQM的面积。（13）求四边形PQMN的面积例1.已知抛物线，根据下列条件，求k的值。(1)抛物线过原点；(2)顶点在x轴上；(3)顶点在y轴上；(1)顶点在y轴左侧；(2)当x=–1时，函数有最小值；(3)关于直线x=-1对称；(4)函数y的值恒大于0；(5)顶点在x轴上方；(6)抛物线在x轴上截得的线段长为1；8.如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得

8、△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否