15.6-实系数一元二次方程(1)(2)

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1、课题：§15.6-实系数一元二次方程(1)(2)教学目的：1、掌握实系数一元二次方程根与系数关系，并会解实系数一元二次方程和因式分解。2、培养类比推理的思想方法。3、培养学生探索精神。教学重点：在复数集内解实系数一元二次方程。教学难点：共轭虚根的应用。教学过程：第一课时：引入：对实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R，且a≠0)有哪些认识？⊿判别式：当⊿＝b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实数根；当⊿＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当⊿＝b2－4ac＜0时，方程有没有实数根。韦达定理：设方程的两个根为x1、x2，则有x1＋x2＝－，x1·

2、x2＝求根公式：当⊿＞0时，方程两根为x＝思考：在复数集范围内是否仍然成立？当⊿＜0即b2－4ac＜0时，由ax2＋bx＋c＝0知道：(x＋)2＝＜0∵的平方根为±∴方程有一对共轭虚根：x＝－±（求根公式）显然，仍然满足韦达定理：x1＋x2＝－，x1·x2＝结论：(1)实系数一元二次方程有虚根必定成对出现；(2)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内总有两个解x1、x2，总可以进行因式分解：ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)[例1]在复数集中解方程：x2－4x＋8＝0分析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件也可以求解。解：∵⊿＝1

3、6－32＝－16＜0，∴方程的解为x1＝＝2＋2i；x2＝＝2－2i练习：教材P．79—练习15.6—1、2、3、4[例2]已知方程x2－px＋1＝0(p∈R)的两根为x1、x2，若

4、x1－x2

5、＝1，求实数p的值。(教材上利用求根公式求解)解：由韦达定理可知：x1＋x2＝p，x1·x2＝1(1)当⊿＝p2－4＞0时，即p＜－2或p＞2时，存在两个实数根x1、x2∵

6、x1－x2

7、＝1∴

8、x1－x2

9、2＝1即有(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝p2－4＝1解得p＝±(2)当⊿＝p2－4＜0时，即－2＜p＜2时，存在x1、x2互为共轭虚根，即＝x2，＝x1∵

10、

11、x1－x2

12、＝1∴

13、x1－x2

14、2＝1即有(x1－x2)＝(x1－x2)()＝(x1－x2)(x2－x1)＝－(x1－x2)2＝－[(x1＋x2)2－4x1x2]＝－(p2－4)＝1解得p＝±由(1)(2)可知：p＝±或p＝±(2)另解：当⊿＝p2－4＜0时，即－2＜p＜2时，方程有一对共轭虚根，可设x1＝a＋bi，x2＝a－bi(a，b∈R)∴

15、x1－x2

16、＝

17、2bi

18、＝

19、2b

20、＝1即b＝±∵x1·x2＝a2＋b2＝a2＋＝1∴a＝±当两根为±i时，p＝；当两根为－±i时，p＝－则p＝±[例3]若关于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一个根的模为1，求实数a。

21、解：∵⊿＝9a2－8(a2－a)＝a2＋8a(1)当⊿≥0，即a≤－8或a≥0时，方程有实根∵

22、x

23、＝1，∴当x＝1时，有a2＋2a＋2＝0，a无解当x＝－1时，有a2－4a＋2＝0，得a＝2±(2)当⊿＜0时，即－8＜a＜0时，方程有一对共轭虚根x、，x＝

24、x

25、2＝1∴x＝(a2－a)＝1解得a＝2(舍去)，a＝－1由(1)(2)可知：a＝2±或a＝－1第一课时作业布置：教材P．80—习题15.6—1～6第二课时：[例1]设α、β是实系数方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，α是虚数且是实数，求的值。解：∵α是虚数，∴方程存在一对共轭虚根，即＝α，＝β∵是实数，∴

26、＝，即＝，即＝，∴＝1∴(－1)(＋＋1)＝0∵α≠β，即≠1，∴＋＋1＝0则＝－±i[例2]已知复数z1、z2满足

27、z1

28、＝

29、z2

30、＝1，且z1＋z2＝＋i，求z1、z2的值。(S1995—21/25)解一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)∵

31、z1

32、＝

33、z2

34、＝1，且z1＋z2＝＋i∴a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，a＋c＝，b＋d＝(解方程组要老半天)解得：a＝1，b＝0，c＝－，d＝或者a＝－，b＝，c＝1，d＝0则z1＝1，z2＝－＋i或者z1＝－＋i，z2＝1解二：∵

35、z1＋z2

36、＝

37、＋i

38、＝1，∴(z1＋z2)()＝1∵

39、z1

40、＝

41、z2

42、

43、＝1，∴z1＋z2＝－1∵z1、z2为共轭复数，∴Re(z1)＝Re(z2)＝－∵

44、z2

45、＝

46、

47、

48、z2

49、＝

50、z1

51、

52、z2

53、＝1，∴Im(z2)＝±∴z2＝－±i，∴z2＝z1z2＝z1(－±i)——寻找z1、z2关系得z1＋z2＝z1＋z1(－±i)＝＋i则z1＝1，z2＝－＋i或者z1＝－＋i，z2＝1变式：已知复数z1、z2满足

54、z1

55、＝

56、z2

57、＝

58、z1＋z2

59、＝1，求的值。解：设＝t(t∈C)，得z1＝tz2∴

60、t

61、＝

62、

63、＝1且

64、z1＋z2

65、＝

66、tz2＋z2

67、＝

68、t＋1

69、

70、z2

71、＝

72、t＋1

73、＝1设t＝a＋bi，a、b∈R，∴a2＋