第四章函数极限与连续函数

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1、第四章函数极限与连续函数第一节一元函数的极限及其性质第三章介绍了数列极限，这一章，我们将叙述函数极限。本节将函数极限分为函数在无穷远处的极限及在一点处的极限分别予以介绍。一函数在无限远处的极限类似数列的极限，如对于函数，当自变量时，对应的函数值无限接近一个常数是指当无限增大时，与之差的绝对值无限接近于0。如当无限增大时，函数无限接近于常数0。为此，我们有定义4.1对任意充分小的正数，总存在一个正数，当时，成立，则称为函数当时的极限。记为或或者的几何意义：对于任意给定的我们总可以找到正数，当时，函

2、数的图像夹在两条直线与，如图4－1。图4-1有时候，我们并不需要考虑的极限，只需考虑或者的极限。这样，我们有下列定义：定义4.2对任意充分小的正数，总存在一个正数，当时，成立，则称为函数在时的极限。记为或或者这时也称函数在正无限远处极限存在，其几何意义见图4－2。图4－2定义4.3对任意充分小的正数，总存在一个正数，当时，成立，则称为函数当时的极限。记为或或者这时也称函数在负无限远处极限存在。如图4－3。图4－3例4.1证明证明任给，要使，即当时当时，，由，当且仅当。取，因此，对任意，存在这个正

3、数，当时，有，即。例4.2证明(1),(2)证明我们只证明（1）式，对于（2）式，可以类似予以证明。对于，要使即使上述不等式右半部对任意都成立，因此只须考虑左半部的变化范围。不妨设，则故对任意正数，取，当时，，所以（1）式成立。二函数在一点的极限设为函数的定义域的一个常数，现在讨论当时，这里，函数的变化趋势。定义4.4(定义)对于任意的，都存在，当时，不等式成立，则称为函数当时的极限，记作或者记为这时也称函数在点极限存在。说明：在定义中，“当时，总有”表示只要充分接近，就会充分接近于。同时条件“

4、”表明函数在点可能没有定义，但函数在点存在极限，因此在考虑函数在点的极限时，我们并不要求函数在点有定义，只须即可。几何意义：函数在点的极限表示只要当时，曲线总在两条直线和之间，或者说曲线的图形在矩形abcd内。图4－4例4.3设，证明证明由函数极限定义，对任意，要找数，使得当时，但是在函数极限定义只要求能够找到满足定义的即可，不妨在的邻域来进行分析，这时，则，故当时，，取，这时，当时，就有和，因此成立。从而结论得到了证明。三函数极限的性质定理4.1的充分必要条件是对任何以为极限的数列，，都有。证

5、明必要性由于，因而对任意的，都可以找到，当时，对任意数列且，对，可得正整数，当时，又因为，故上面的不等式可改写为对于满足上述不等式的，其函数值适合即当时，这个不等式成立，即数列以为极限。充分性反证法。若，则对某一个，对任意的，都可以找到一个点满足，使得，特别若取为，得到点列，满足由上述左边一列可以看出，，但右边一列说明数列不以为极限，这与假设矛盾。充分性得证。这个定理给出了函数极限和数列极限之间得关系，此定理揭示了连续和离散变量变化之间的联系，也对某些函数极限不存在提供了一种有效的证明方法。例4

6、.4证明不存在。证明设，取两个趋于0的数列明显，，而由定理4.1，知不存在。定理4.2若对任意内，，并且，则。证明如果对任意数列，并且不妨假设，有以及，由数列极限的性质得，故定理4.1与定理4.2中的换成时，结论依然成立。例4.5证明证明对任意，要使，即，也就是取，当时，，故结论成立。例4.6证明（）证明对任意，要使，即(4-1)当时，(4-1)式为，取，因此，任意，都存在，当时，就有。即当是，。当时，结论显然成立。因此，例4.7证明证明当时，结论显然成立。下面假设。对任意，要使，即,取。因此，

7、对任意，都存在，当时，都有成立。即定理4.3设是定义在上的函数,且都存在,则1)2)3)(分母不为0)四两个重要极限1.证明因为,所以不妨假设极限中.又,可以令.作单位圆如图4-5，图4-5设圆心角，过点作圆的切线,交圆于。由于ΔAOB是扇形AOB的子集,扇形AOB又是ΔAOC的子集.所以ΔAOB的面积<扇形AOB的面积<ΔAOC的面积即，两边同时除以得即由及夹逼定理，得因此成立。例4.8求解因为时，，则例4.9证明证明对任意，因为当时，，所以取，则对任意，都存在，使得当时，都有即类似可以证明，

8、2判别存在证明先讨论得情形。先证明时(为自然数)，极限存在。由二项式定理，有同理比较上式两个展开式，容易看出，这说明数列单调增加。同时，表明数列有上界。根据单调数列必有极限，故存在,记为.为一个无理数，即下面对于连续自变量，也有对任意实数，必存在自然数，使得，因此从而又因此，当时，令，则综上所述，得在中，如果令，则得到其另一种形式，即。例4.10求解。五连续复利设某顾客向银行存入本金元，年利率为,年后他在银行的存款总额是本金与利息之和。且银行规定年复利率为,我们根据以下四种不同的结算方式，得顾客