多维幻方中的斜线研究

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1、多维幻方中的斜线研究(上)    幻方制作完成后是检验，是否成功，品质如何？这要靠不重不漏的检验来说话，而不是凭着良好的主观愿望想像就是！首先是直线形的检验，直线形在四维中日本名词中给出：行(row)・列(column)・柱(pillar)・file。行与列不用多言，大家都熟悉通用的；第三维我首先想到的也是柱，欧阳录老先生采用了竖与竖和，它是从上向下的n格；第四维是横向对应位置上的n格，用手横向一扫故名之为一拨，日本也没有给名？姑且用之。直线形的检验数量在幻方是2n，在幻立方是3n2；到四维幻方中就是4n3,……可知n阶m维幻方在直线（形

2、）上的检验数量是mnm-1次。在直线检验通过后，是对角线的检验，如果它的m维对角线都符合幻和，则称其为一个简单的m维幻方；简单幻方并且有2到m-1维对角线，那么它是一个n阶m维标准幻方。   标准之后我们更想完美，即幻方经平移后仍保持其幻性不变！要幻方具有平移性质就要研究并检验它的泛对角线（折断的）即斜线，完美要求每一斜线上n数之和等于幻和，这样，情况就会复杂得多！我们从二维谈起。1、平面（二维）幻方的斜线 2、（三维）幻立方的斜线   在（三维）立方体中，出现了三个方向的直剖面，今后我们简称为剖面，而对角面等是斜剖面，暂不在我们的研究之

3、列。从二维向上研究，其思维与步骤是类似及延伸的，在用词与公式上亦是如此，请读者注意，循序向上。  所以n阶完美幻立方的检验量是3n2+4n2+6n2=13n2条。3、四维幻方的斜线   ①为什么16种可能只得到8个不同的方向？将这8个方向（向量）乘以-1则得到另8个方向，而另8个方向仅是前8个不同的方向的反向延长，仍在同一斜线上。  ②为什么就选这八个？我们希望包涵大的变量为正，在正向递增着。  ③为什么使用简记而将1省去？对于幻方讨论是其对角线及平行于它的斜线，它们与行轴、列轴等总是夹角45°或135°，递增或递减也是一个单位，故略之不

4、写。  四维幻方的四维斜线以第一堆（幻立方）为起点格，这样其斜线的堆标r是从1递增到n；第一堆有n3格，每一格引出8个方向的斜线，所以，四维斜线一共是8n3条。再看三维斜线，平等地对待四个坐标，   由取法的组合数是4，三维斜线的起点格是这一组合立方体的顶层上n2格，每一格引出4条三维斜线，闲置的那一标可从1取到到n，综合各个因素，所以，其三维斜线一共是4n24n=16n3条。    由取法的组合数是6，二维斜线的起点格是这一剖面的首行上n格，每一格引出两条二维斜线，闲置的那两标各自可从1取到到n，综合各个因素，所以，其二维斜线一共是6n

5、2n2=12n3条。汇总如下表，     四维幻方从标准走到完美，其2、3、4维斜线检验量大幅度的提升，达到与直线形同一档次（nnn）！又因其多个方向而超越。四维从16阶（或能早点）开始有完美幻方，在这多（163840）线上能够等和也是一个美好玄妙的景象！多维幻方的研究（下） 一、关于多维幻方分类   还是三个档次合理，简单，标准，完美。   在多维幻方中，很多阶都存在完美，但有些阶就没有完美，仅是标准，阶数较低的一些连标准都达不到，只能称为简单。在简单中有一些更接近标准，这也是存在的。   但是我要再一次申明:   1、能做出完美，同时

6、也能做出标准或简单的，我们归类为完美；    做不出完美，但能做出标准，也可做出简单的，我们归类为标准；    做不出完美，也做不出标准的，仅能做出简单的，我们归类为简单。   在上述严格归类后，还有没有你说的比简单更好一些，又比标准稍差一些的这类呢？在三维幻方中，3，4阶只能是简单，5，6，10，……当初也有很多人认为这些阶达不到标准，但又可以做出比简单好，更接近标准。   最后的事实证明，除3，4证明了只能是简单，不可能达到标准，而其它达不到完美的全部可达到标准。   在四维幻方中，3，4，5，6，7阶估计全部能证明达不到标准，只能是

7、简单，这些阶它们的所有平面剖面的主对角线都是不可能全部达到要求的。   8，9，11，13阶这几个所有的平面对角线可以达到要求，但三维空间的对角线用我的公式达不到要求。好象这几个就是你说的中间一类，但我的公式做不出标准，不能说用其它办法做不出来，我估计这些标准幻方是存在的。就象5阶幻立方一样是存在的。   2、如果非要将他们归为一类，那么四维就出现了四类了。   完美，标准，新的一类，简单，   五维怎么办，就要出现五类了，m维怎么办，就要出现m类了!   这样分类就复杂了，让其它人就更难明白了?    鉴于这些情况，我同意李文先生的划分

8、，给出以下分类的定义：   ⑴n阶m维幻方分为简单，标准，完美三个档次。如果m维幻方仅有所有直线形（行，列，竖，……）及m维对角线上的n数之和满足于幻和，则称它是一个简单m维幻方。如果简单幻方