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1、具有时滞的捕食系统的一致持久性杨希陶湖南科技大学数学系，411201摘要我们认为延迟捕食系统是一类具有HollingⅢ型功能响应的捕食系统。通过使用新的方法对统一的持久性和周期正解存在行进行研究。我们的研究基于大量类似的研究，并将原有许多文献的研究结果进行改善。在最后给出了一个例子，来说明我们的研究所获得的结果。关键词：捕食系统;均匀持久;周期解；Holling型1．介绍生态系统在发展过程中,为了能长久的利用生物资源,持久性就显得尤为重要,在生态学里许多模块能表示成具有时滞的微分系统。近年来较多文献对此做了研究,如文[1,2,6,8-10,13,16-18]研究了一类控制系统。并且在稳定性方
2、面已经有很多很好的结果[2,9,10,16]，振荡方面[2,3,5]，持久性方面[4,8,15-18]，周期解的存在方面[2,7,9,11-14,16,18]。到目前为止，具有时滞的捕食系统被假定为所有的生物或环境参数是时间常数。然而，任何生物或环境参数，自然是受时间而发生波动，如果一个模型被采纳，那么考虑到的这种波动模型必须非自治。近日，王和李[16]研究了具有避难所的非自治两种群捕食者-食饵系统（捕食者种群绝灭性研究）下的正周期解当（1）其中N1（t）和N2（t）分别是人口密度和被捕食猎物的密度，另外t，上的有界非负连续函数，m是非负常量。对于，取使。很容易知道，存在唯一的解使得and满
3、足（1）在对所有的，此时有，系统（1）被说成是统一的持久性，如果存在常数使得对所有，其中是满足（1）的解在文献【16】的结尾，王和李研究了统一的持久性支持（1）当他们获得了以下结果。定理A假设与（2）其中那么系统（1）是一致持久的。自然会出现一个问题：什么样的条件可以保证系统（1）持久均匀，是当和的时候吗？在本文中，我们关注与系统（1）统一的持久性。现在，我们提出了我们的主要结果。一些引理对证明是有帮助的，在第2部分将详细介绍主要结果的证明。在第3部分中将给出主要结果的证明。在第4部分中，我们给出一个关于统一的持久性和周期解的例子。不过我们既不能凭借统一的持久性得到结论，也不存在周期解结果[
4、16]。定理1.假设有（i）（ii）对于和x*满足（3）则系统（1）是一致持久的。由定理1[14]，我们有以下的推论。推论1.如果对是功能性周期性的，并且满足定理1的条件，那么（1）存在一个正的周期解。备注1当从定理1中的结论中，如果不能使用定理A。如果，由于和（2），那么相当于（3）的情况下，2．初步引理引理1.存在M2>0使得,对任意的(σ,ϕ)∈R×C+.成立。证明.令由（1）得,由此可推断出联合（1）可得：由定理，可知：因此，我们得到。为了证明存在一个使得只需考虑下面两种情况。情况一：由于，有存在一个e0使得由以上条件可知存在一个T>0，使得对所有成立。由（1）得其中由此可得对所有成
5、立。因此可以认为同理可得令，有情况二：，由于，存在一个使得（4）和（5）由（4）和（5），存在唯一使得（6）和（7）可推断出（8）否则，一定存在使得（9）由于，存在一个使得（10）对所有成立。由（9）得同时这意味着存在一个满足使得对成立。由此可得对成立。由于，这与（9）矛盾，原结论正确。记存在一个M2>K+1，使得存在一个e0使得（11）则支持否则，有从（8）式可知存在使得（12）和对于成立（13）由（10）有（14）从（14），我们可以推断出又由（11）和（12）可知（15）由（10）和（13）有因此，有对成立。与（15）联合，再由（7）可得，则有依次可得这与（13）矛盾。这样定理得证。引
6、理2设则对所有，有（16）证明：假设（16）不成立。那么存在，和使得对t>T成立。这意味着对成立，其中h（x）已经在引理1中给出。由于，则有。因此，有（17）在这种情况下，我们认为（18）由（17），对任意的，存在一个使得（19）对成立。由引理1知，存在一个使得对任意成立。又由（1）和（18）可知对成立。这意味着（20）由（1），（19），（20）得到通过比较定理，有取，则有因此，观点正确。由（3），存在一个使得由（18）和引理1知，存在一个使得那么（21）接下来，分两种情况进行讨论。情况一：类似于上面的讨论方法，容易知道其中，，这违背了（17）。因此，（16）成立。情况二：由（21）可知，
7、这也与（17）不相符合。证明完成引理3存在一个使得（22）对所有的成立。证明：由式（3），存在>0，使得和（23）其中现在，若（21）对所有成立。否则，存在和使得和（24）对成立，此时需要用到引理1。可得到由此，可以得到与引理2类似，我们可以得到（25）由（23）可知，存在一个使得和（26）由（25）可知，存在一个使得则根据（25）可得对成立。由（26），则可得，这与（24）相矛盾。证毕3.主要结果的证明定理
