常微分方程建模教学大纲

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1、《常微分方程》教学大纲一、 计划学时：72课时二、 适用专业：数学与应用数学（师范类）（本、专科）、信息与计算科学（本）三、   课程性质与任务：常微分方程是高等师范院校数学与应用数学专业及信息与计算专业的基础课之一。本课程主要学习各种基本类型的常微分方程解的性质、方程的解法及其某些应用。通过该课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，深入掌握基本理论和主要方法，具有一定的分析问题和解决问题的能力，为学习本课程的近代内容与后继课程打下基础。在本课程的学习中，通过对数学分析、高等代数、解析几何和简单的力学、电学等知识的应用，使学生对已学过的知识得到巩固与深化；通过该课程

2、的学习，使学生了解常微分方程可应用于工程技术，现代科学与中学数学的某些问题，从而有助于树立学生的数学来源于实践又服务于实践的辩证唯物主义观点。四、目的要求：通过对该课程的教学，使学生掌握某些特殊类型微分方程(组)的初等解法和一般线性微分方程(组)的求解方法及其相关理论，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础。同时，使学生能够应用数学手段去研究和解决自然现象与经济建设中的一些具体问题。五、课时安排：总课时：72课时第一章初等积分法18课时第二章基本定理14课时第三章一阶线性微分方程组12课时第四章阶线性微分方程18课时第五章定性和稳定性理论简介10课时六、课程教学重点与难点：

3、重点：基本概念与基本技能的掌握。难点：计算技巧的掌握、证明题。七、课程教学方法与要求   本课程以课堂讲授为主，答疑为辅，学生必须完成一定的作业量。八、课程考核方法与要求   本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时成绩占20%，期末成绩占80%。九、教学内容纲要第一章初等积分法一、教学目的：了解微分方程的产生背景，学习常微分方程课程的意义，知道一阶微分方程的初等解法的含义；清楚变量可分离方程、可化为变量分离方程、一阶线性方程、恰当方程与一阶隐式方程的基本形式和可用降阶法求解的高阶微分方程的类型；掌握可用初等解法

4、求解的方程的基本类型及其相应的求解方法二、主要内容第一节微分方程和解4课时1、微分方程2、通解与特解3、初值问题4、积分曲线5、初等积分法第二节变量可分离方程2课时1、显式变量可分离方程的解法2、微分形式变量可分离方程的解法第三节齐次方程2课时1、齐次方程的解法2、第二类可化为变量可分离的方程第四节一阶线性微分方程2课时1、一阶线性非齐次方程的通解2、伯努利（Bernoulli）方程第五节全微分方程及积分因子2课时1、全微分方程2、积分因子第六节一阶隐式微分方程2课时第七节几种可降阶的高阶方程1课时1、第一种可降阶的高阶方程2、第二种可降阶的高阶方程3、恰当导数方程第八节一

5、阶微分方程应用举例3课时1、等角轨线2、动力学问题3、电学问题4、光学问题5、流体混合问题三、基本要求1．理解线性方程与非线性方程，阶，解(通解，特解，隐式解)，初值条件，初值问题等概念。2．熟练掌握可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性方程；伯努力方程，全微分方程的求解方法。3．掌握常数变易法，记住一阶线性方程的通解表达式。4．了解变量变换和积分因子在求解微分方程中的作用，会作简单的变量变换和会用简单的积分因子解微分方程。5．理解方向场和积分曲线的关系。6．掌握克莱洛方程的解法，了解奇解的意义。7．熟练掌握d２y／dx２=f(x，dy／dx)，d２y／dx２=f(y，dy／

6、dx)的降阶法。8．会用已有知识建立常微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。第二章基本定理一、教学目的：清楚讨论一阶微分方程解的存在与唯一性的作用和意义，理解一阶方程解的存在与唯一性、解的延展性及解对初值的连续依赖性与可微性定理的内容；掌握微分方程解的存在及唯一性的判定方法，解的延拓方法和比较定理的应用，会用毕卡逐次逼近法求方程的近似解并能够进行误差估计，能够求出方程的奇解。二、主要内容第一节常微分方程的几何解释2课时1、线素场2、欧拉折线3、初值问题解的存在性第二节解的存在唯一性定定理4课时1、存在性与唯一性定理的叙述2、存在性的证明3、唯一性的证明4、两点说明

7、第三节解的延展3课时1、延展解、不可延展解的定义2、不可延展解的存在性3、不可延展解的性质4、比较定理第四节奇解与包络3课时1、奇解2、不存在奇解的判别法3、包络线与奇解的求法第五节解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性2课时三、基本要求1．熟练掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理。2．了解右端函数连续保证初值问题解的存在性。李普希茨条件保证初值问题解的唯一性这些事实。　　3．理解初值问题解的存在唯一性定理中解的存在区间的意义，理解解的延展概念，理解延展定理的含义(不要求掌握证明)