7、+1建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：（i）用差商近似导数y(x)−y(x)n+1n若用向前差商代替y'(x)代入（1）中的微分方程，则得nhy(x)−y(x)n+1n≈f(x,y(x))(n=0,1,L,N−1)nnh化简得y(x)≈y(x)+hf(x,y(x))n+1nnn如果用y(x)的近似值y代入上式右端，所得结果作为y(x)的近似值，记为y，nnn+1n+1则有y=y+hf(x,y)(n=0,1,L,N−1)（2）n+1nnn这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题⎧yn
8、+1=yn+hf(xn,yn)(n=0,1,L,N−1)⎨（3）y=y(a)⎩0得到，按式（3）由初值y可逐次算出y,y,L,y。式（3）是个离散化的问题，称012N为差分方程初值问题。-293-需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。（ii）用数值积分方法将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得xn+1y(x)−y(x)=f(x,y(x))dx(n=0,1,L,N−1)（4）n+1n∫xn右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。（iii）Taylor多项
9、式近似将函数y(x)在x处展开，取一次Taylor多项式近似，则得ny(x)≈y(x)+hy'(x)=y(x)+hf(x,y(x))n+1nnnnn再将y(x)的近似值y代入上式右端，所得结果作为y(x)的近似值y，得到离nnn+1n+1散化的计算公式y=y+hf(x,y)n+1nnn以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中的Taylor展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。§2欧拉（Euler）方法2.1Euler方法Euler方法就是用差分
10、方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次算出y(x)的近似值y(n=1,2,L,N−1)。这组公式求问题（1）nn的数值解称为向前Euler公式。y(x)−y(x)n+1n如果在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即y'(x)≈，n+1h则得计算公式⎧yn+1=yn+hf(xn+1,yn+1)(n=0,1,L,N−1)⎨（5）y=y(a)⎩0用这组公式求问题（1）的数值解称为向后Euler公式。向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。向前Euler
11、公式是显式的，可直接求解。向后Euler公式的右端含有y，因此是隐式公式，一般要用n+1迭代法求解，迭代公式通常为(0)⎧⎪yn+1=yn+hf(xn,yn)⎨（6）(k+1)(k)⎪⎩y=y+hf(x,y)(k=0,1,2,L)n+1nn+1n+12.2Euler方法的误差估计对于向前Euler公式（3）我们看到，当n=1,2,L,N−1时公式右端的y都是近似n的，所以用它计算的y会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简n+1单的所谓局部截断误差。假定用（3）式时右端的y没有误差，即y=y(x)
12、，那么由此算出nnny=y(x)+hf(x,y(x))（7）n+1nnn-294-局部截断误差指的是，按（7）式计算由x到x这一步的计算值y与精确值y(x)nn+1n+1n+1之差y(x)−y。为了估计它，由Taylor展开得到的精确值y(x)是n+1n+1n+12h3y(x)=y(x)+hy'(x)+y''(x)+O(h)（8）n+1nnn2（7）、（8）两式相减（注意到y'=f(x,y)）得2h
