常微分方程初值问题的matlab解法

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1、用Matlab求常微分方程(ODE)的初值问题(IVP)本节考虑一阶常微分方程尸’：,(，，“)^

2、"1)J(1.4)W外一个高阶常微分方程的初值M题(1.5)也可以通过变换％=U，U2=U'，U3=lf，…，um化成维微分方程组：u-u2u2=(1.6)=U,n我们在没计算法吋通常先对一维一阶常微分方税(1.1)进行，然后再将这个算法写成适合求解(1.3)的W景形式,并以M撒形式来进行编程。1、非刚性系统与刚性系统当7(Z,n)=AS+O(0吋微分方程组(1.3)变成u=Aw+(Z)(1.7)如果系数矩阵AeRwxw特征位斗本，…，4满足对应的特征h'相:为PpP2，…，匕，则(1.7)具有通解U(t)=十^⑴(1.8)j=i-M:屮

3、f⑺为(1.7)的一个特解。如果(1.7)屮的矩阵满足(1.9)(1)Re(Aj)<0./=l，2，".，m(2)5=

4、Re(/Q

5、/

6、Re(4)

7、>〉l就称微分方程组(1.7)是刚性的或坏条件的或病态的。s称为刚性比。(1.10)对于一般的一阶常微分方程组(1.3)，如果多元向景值函数/(U7)对(1.4)中向gG的分fi的Jacobi矩阵J(t)=du'df2duA••du2du2參參...••••♦I•I••I•.•■1du.du,n/；=/；(/)的特征值/I，⑴，毛⑺，…")对于求解区M上的任何满记(1.9试，则称微分方程组(1.3)为

8、刚性的。2、解法器及调用格式解法器适用类型何时使用使用算法ode45NonstiffMostofthetime.Thisshouldbethefirstsolveryoutry.Runge-Kutta(4,5)格式ode23NonstiffIfusingcrudeerrortolerancesorsolvingmoderatelystiffproblems.Runge-Kutta(2,3)格式odell3NonstiffIfusingstringenterrortolerancesorsolvingacomputationallyintensiv

9、eODEfile.Adams-Bashforth-MoultonPECE格成odel5sStiffIfode45isslowbecausetheproblemisstiff.ode23sStiffIfusingcrudeerrortolerancestosolvestiffsystemsandthemassmatrixisconstant.ode23tModeratelyStiffIftheproblemisonlymoderatelystiffandyouneedasolutionwithoutnumericaldamping.ode23tbS

10、tiffIfusingcrudeerrortolerancestosolvestiffsystems.冇如下三种调用方法，K•中solver是上Ifd三个解法器的名了。(1)[t，y]=solver(odefun，tspan，y0);(2)[t，y]=solver(odefun，tspan，yO,options);(3)[t，y]=solver(odefun，tspan，y0,options，pl，p2…);它们输入参数是：(1)odefun:是一个函数句柄，指初位问题(1.3)中的函数»仑的基本形式是dydt=f(t，y)：其屮dydt，y是列

11、向量，而t是标量。(2)tspan：足一个向景，川于指定求解1><间

12、^口311(1)办口&11(611(1)]。要求这个向量的分景足有序的，或者单调上升成者单调下降。(3)yO：是初值问题(1.3)中的初始列向虽久。(4)options：用于对解法器缺省的求解参数进行设置。如果不想改变缺省值，对以用空矩阵‘[]’來代替。MATLAB的ODE解法器没计了一个结构变量川于没置解法器的各项公共参数，比如精度，步长等。其屮己经定义了一些缺贫位，用无参数的odeset命令可以列出所柯的公共参数及缺畨位：AbsTol:[positivescalarorve

13、ctor{le-6}]绝对误差RelTol:[positivescalar{le~3}]相对误差NonnControl:[on

14、{off