三角函数极值的求法

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1、三角函数的最值的求法三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合运用，是高考的热点问题，求三角函数的最值，通常的解题思路是先通过适当的三角变换或代数换元化归为基本三角函数或代数函数的最值问题，在解题时不仅要注意其特殊性（如：正、余弦函数的有界性），同时还要注意运用一般函数最值的方法（如：运用函数的单调性，配方法，判别式、均值不等式等。）下面对三角函数的最值常见题型与常见方法归纳如下：一、利用三角函数的单调性求最值形如（）的三角函数，1）若则，当时，，当时，。2）若，则利用函数的单调性或三角函数的图象来求。例1：求函数在区间上的最大值和最小值。解：

2、∵∴当时，函数单调递增，，当时，函数单调递减，，∴函数在区间上最大值是3，最小值是2。二、化归为形式求最值。1）形如，引入辅助角，化为求解。例2：（2008湖北理数）已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值解：(Ⅰ)f(x)=sinx+.故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝.(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，所以当x=π时，f(x)有最大值－2.2）形如的三角函数，应用降幂公式化为1）类型,然

3、后求最值.此题型是近几年热点。例3：（2010天津理数）已知函数求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值。解：由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1一、通过换元转化为代数函数的形式求最值。1）形如可设（或），化为二次函数，在用配方法求之。例4：（2010北京理数）已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。解：（I）（II）==,因为，所以，当时，取最大值6；当时，取最小值2）形如，设化为关于t的二次函数，在闭区间上用配方法求之。例5：求y=（1+sinx）（

4、1+cosx）的最大值和最小值。解：由y=（1+sinx）（1+cosx），得Y=1+sinx+cosx+sinxcosx设t=sinx+cosx，则t∈［－，］.由（sinx+cosx）2=t2,sinxcosx=.∴y=1+t+=（t+1）2.∴ymax=（+1）2=，ymin=0.3）形如或或的三角函数式，通过换元后一般可化为类型的函数。例6：求函数的最值。解：令，∴函数又函数是单调递增的（证明略）。当时，，当时，函数一、利用三角函数的有界性求最值。1）形如（或）用三角函数的有界性求最值。例7：求函数y=的最大值和最小值.方法1（分离常数

5、法）解：∵y===3－，∴当sinx=1时，ymax=3－=；当sinx=－1时，ymin=－4.方法2（三角函数的有界性）解：∵y=∴∵∴解得∴ymin=－4.ymax=1）形如（或）它可以通过去分母化归的形式，用三角函数的有界性求最值。例8：求函数y=的最大值和最小值.解：去分母，原式化为：sinx－ycosx=2－2y，即sin（x－）=.故≤1，解得≤y≤.∴ymax=，ymin=.一、用均值不等式求最值。例9：求函数的最大值和最小值。解：∴=当且仅当，即当时，等号成立。由可得：∴，一、用判别式求最值。形如，可转化为关于的一元二次方程，

6、用判别式求最值。例10：求函数的最大值和最小值。解：分子、分母同时除得：整理得：∵为实数，∴△=解得：∴，七、数形结合求最值形如（或）转化为椭圆或单位圆上的动点与定点连线的斜率的最值问题。.例11：求函数y=的最大值和最小值.解：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1.它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可.由=1，得k=.∴ymax=，ymin=.吉林省磐石市职业教育中心：任志强邮编：132300