隐函数的极值求法

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1、万方数据第30卷2010矩第3期5月高师理科学刊JournalofScienceofTeachers’CollegeandUniversityV01．30No．3Mav2010文章编号：1007—9831(2010)03—0017-03隐函数的极值求法冯秀红(南京信息工程大学数理学院．江苏南京210044)摘要：高等数学教材中讨论了一元显函数的极值问题，给出了判断函数极值的2个充分条件．基于这2个充分条件研究了隐函数的极值．由于隐函数很多都不是单值函数，所以它的导数不存在的点也可能是导数等于零的点，因此把隐函数的特殊点分为3类，然后分别

2、判断它们是否为极值点，这样丰富了函数的极值理论．关键词：极值；隐函数；导数中图分类号：0172．1文献标识码：Adoi：10．39696．issn．1007—9831．2010．03．006在高等数学一元函数极值理论中，讨论的都是一元显函数的极值问题，对于隐函数的极值也有研究，文献【l】利用隐函数的对称性及第一、第二充分条件来判断隐函数的极值，文献【2】只简单地给出了一元隐函数与多元隐函数的极值判断方法，不够系统．由于很多隐函数不是单值函数，所以很多书中都不涉及此内容，有的教科书会有l一2个隐函数的例子却只讨论其部分点p1，很多学生迷惑

3、不解，本文主要讨论一元隐函数的极值问题．首先给出关于极值理论的2个定理．’定理1(极值第一充分条件)H设函数f(x)在％处连续，在而的某邻域U(xo，万)内可导．(1)若当工∈U(xo一万，％)时，，’(z)>0，而当XEU(xo，Xo+占)时，，’(z)<0，则，(J)在％取极大值；(2)若当x∈U(xo一万，％)时，，’(工)<0，而当XEU(xo，Xo+万)时，，’(x)>0，则，(工)在‰取极小值；(3)若当工∈U(x。，艿)时，厂’(工)的符号不变，则f(x)在扎处没有极值．定理2I极值第二充分条件)”1设函数f(x)在jco

4、处具有二阶导数，且，’(工。)=0，f。(工。)≠0．(1)若，”(Xo)>0，则f(x)在％取极小值；(2)若，。(工o)<0，则，(工)在而取极大值．对于显函数Y=，(z)的极值求解步骤如下：(1)对函数求导：Y’=f’(z)；(2)求出函数的定义域内2类特殊的点：导数等于零的点(驻点)以及导数不存在的点；(3)对于(2)中求出的点用极值第一或第二充分条件判断是否为函数的极值点，进而求出极值．对于隐函数的极值求解，首先考察3个例子．例1设函数Y=f(x)是由方程z2+Y2=l确定，试求出f(x)的极值．解方程两边对工求导得x+YY’

5、=0，化简得Y’=一二．Y令Y’=0，得工=0，代人原方程x2+Y2=l，得YJ=1，Y2=-1．Y=0是Y’不存在的点，代入方程收稿日期：2009—12—20基金项目：牡苏省商饺自然科学嬉金(07KJDll0127)；南京信息工程大学科研毒睑资助项口(20070125)作者简介：社5秀红(1978-)．女，山西运城人，讲师，牡孳士，从事微分儿何研究．E-mail：fengxhl216@163．c0111万方数据18高师理科学刊第30卷工2+Y2=1，得X，=1，工2=-1．对于工=0，利用极值的第二充分条件Y”I(o．1)=-1<0，

6、Y’I(o,-o=1>0，所以Y=，(工)在X=0取得极小值f(O)=一1，也取得极大值f(O)=1．对于Y=0，当X1=1时，对于而=1的很小的邻域内的工，由方程对应有Y>0和Y<0的点，所以■=1不是函数的极值点．同样对于Y=0，当工2=-I时，存在工2=-I的很小的邻域内都．-IV：取到Y>0和Y<0的值，所以岛=一l也不是函数的极值点．本结论从圆的图形上也很容易看出．例2设函数Y=f(x)是由方程工3—3xy2+2y3=32确定，试求出厂(工)的极值．解方程工3—3xy2+2y3=32两边对工求导得3x2—3y2—6xyy’+6

7、y2Y’=o，化简得0一y)O+Y一2yy7)=O．若x—Y=0，代入方程x3—3xy2十2y3=32，得o=32，矛盾，因此z—Y≠0，所以Y’=之半．二)，令Y’=0，即工+Y=0，代入方程工3—3xy2+2y3=32，解得X=一2，Y=2．Y’不存在的点，即Y=0，代入方程工3—3xy2+2y3=32，解得z=2V4．1对于z=一2，Y=2，利用极值的第二充分条件Y。1(-2,2)=了1>0，所以，(工)在x=一2取得极小值‘’厂(一2)=2．对于x=2V4，Y=0，若Y=0是函数的极小(或极大)值，则存在万，当z∈u(2V4，万

8、)时，Y>0(或Y<0)，由Y’=之；旦，在此邻域内当Y>o时函数单调递增(当Y<0时函数单调递减)，显然与函数的连zy续性矛盾，则在此邻域内函数一定可以取到Y>0和Y<0的值，所以X=2V4不是原来函数的