物理极值的求法20

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1、物理极值之求法介休一中曹正奇利用三角函数求极值一、型将变形为，当时，有极值。αL例1某地区降雨量较大，在设计屋顶时，为使雨水尽快地流下，屋顶的倾斜角应该是多大？分析与解设屋顶的倾角为，横梁的宽度为L，如图所示。则雨滴的位移大小为根据牛顿第二定律可知雨滴下滑的加速度为雨滴在屋顶上做初速度为零的匀加速直线运动由以上三式可得下滑时间为可见当时，时间最短为例2如图所示，为防止电线杆被电线拉倒，可用一拉线拉住电线杆，问拉线如何设置可使拉线所受拉力最小？分析与解设电线拉力大小为F1，离地高度为L，拉线长度为l，拉力大小为F2，拉线与水平面夹角为α，由力矩平衡条件有αlF2LF1整理可得拉线拉

2、力大小为可见当时，拉力最小为例3一个四分之一圆弧形物体置于粗糙的水平面上，质量为的小球从静止开始由顶端无摩擦滑下，物体始终处于静止状态。试分析：当小球运动到什么位置时，地面对物体的静摩擦力最大？最大静摩擦力为多少？oαFmg分析与解设圆弧半径为，当小球运动到圆心小球连线与竖直方向夹角为时，速度为,由机械能守恒定律有由牛顿第二定律沿半径方向有对物体，由平衡条件在水平方向有由以上各式可得地面对物体的静摩擦力为可见当时，静摩擦力最大为。例4重力是由于地球吸引而使物体受到的力，吸引力的方向指向地心，重力的方向竖直向下，试分析竖直向下的方向与指向地心方向的最大夹角。分析与解设地球为一质量分

3、布均匀的球体，其质量为M，半径为R，自转的角速度为ω，一个物体质量为m，处于纬度为θ的地球表面。如图所示。根据万有引力定律可知，物体受到的万有引力为方向指向地心由牛顿第二定律知物体随着地球的自转做匀速圆周运动的向心力为（1）这个向心力是万有引力的一个分力，方向指向圆周轨道的圆心。ωfmWFORθ物体所受的重力为（2）方向竖直向下。由图可知有（3）由（1）、（2）、（3）有由上式可知，在南（北）纬处，竖直向下的方向与指向地心的方向有最大的夹角，大小为。将、、代入并解可得二、型因为，可见，当时，y的极大值为。例5物体放置在水平地面上，物体与地面之间的动摩擦因数为，物体重为，欲使物体沿

4、水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？NFfGθ图1分析与解物体受力如图1所示,设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，即……（1）…（2）由滑动摩擦定律有…………（3）联解（1）（2）（3）可得：,其中,可见当时，拉力的最小值为例6船从港口出发，拦截正以速度沿直线航行的船，与船所在航线的垂直距离为，船起航时，船与点的距离为，且，如图1所示。如果略去船起动时的加速过程，认为它一起航就作匀速运动，求船能拦到船所需的最小速率。αBMNPAbav0图2HBMNPAbav0图1分析与解设两船相遇于点（见图2），与间的夹角为，则船的位移船的位移因时间相等，故有整理化简

5、以上各式后有其中可见当即当船速度方向与垂直时有最小值例7一条长度为L的细线，上端固定在O点，下端系着一个质量为m、带电量为+q的小球，将它们置于一个足够大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，把细线拉直并处于竖直位置，然后将小球由静止释放，如图1所示，试求：当细线与竖直方向夹角为多大时小球的动能最大，最大动能为多大。图1LO+q,mE分析与解小球被释放后，在重力、电场力和绳子拉力作用下，在竖直面里沿着圆弧来回摆动，其运动的性质是变加速曲线运动，在此过程中，重力势能、电势能、动能发生着周期性的相互转化。如图2所示，设当细线与竖直方向所成角度为α时，小球的速度为。根据能量转化和守

6、恒定律可得其中可见当时小球的动能最大为αqEmgLO+q,mE图2三、型或型将变形为因为根据基本不等式，定和求积知：当且仅当，即时y有最大值例8一个面积为的风筝，迎着水平方向速度为的风，浮在空中，为使风筝获得最大的升力，风筝与水平方向的夹角应为多大？分析与解设空气密度为，则在时间内与风筝发生作用的空气质量为设空气分子与风筝的碰撞是弹性的，则由动量定理，反射定律可得vvFαα由牛顿第三定律可知空气对风筝作用力为风筝获得的升力为由以上各式可得可见当时，升力的最大值为例9相距为的两个相同的点电荷，带电量均为，试求两点电荷中垂直线上何处场强最大，最大为多大？解析如图所示，在两点电荷中垂线

7、OP上取一点P，设P点和电荷连线与两电荷连线的夹角为θ，由几何关系可知P点到两电荷的距离均为由点电荷场强公式可知每个点电荷在P点的场强为OθE1E+Q+QLLE2由平行四边形定则可知P点场强为P联解以上三式可得可见当时，场强的最大值为例10一条轻质绳子长度为，一端固定在O点，另一端拴一个质量为的小球，拉起小球使轻绳处于水平，然后无初速释放小球，如图1所示，小球在运动到最低点的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？mLOBmgvCθTLOA图1图2解析当小球到达绳子与竖直