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时间:2018-07-27
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1、关于一个数论问题的证明(2011.10.18)这个问题可能对大家的数论知识有所帮助,我感觉我的方法比较通俗易懂,但它涉及了多项式思想和组合数有关公式,这里关键是解决思路,这时学习数学的根本。祝学习轻松愉快!如果你们有更好的解法,请分享。命题:若有奇素因子,则必有异于的奇素因子证明:因为奇素因子,所以为奇数,且所以当为偶数时,为奇数;当为奇数时,由于为奇数,且所以为奇数个奇数的和,故和为奇数。所以为的奇数因子。因此只能有奇因子。下面证明这个结论设,则此多项式按展开后,得一个关于的次多项式,因为为大于等于3的素数,所以为偶数,故为正整数所以为正整数由只能有奇因子可知,只
2、有奇数因子所以必为奇数,又因为奇数且不能被整除,所以的因子都不等于又因为的因子皆为奇数,故其必含奇素因子。其奇素因子也不等于。这就证明了本题的结论。下面证明香港05年奥赛试题试题:存在无穷多个不含平方因子的正整数,使得证明:设,因为,则,由结论至必存在异于的奇素因子,设为,即因为、为奇素数(正整数即可)所以由知,由知所以,而为奇素数,且故、一定不含完全平方因子,上述过程可以无限的进行下去,因此存在无穷多个不含平方因子的正整数,使得。本题可改为证明存在无穷多个不含平方因子的正整数,使得。
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