关于一个征解问题的机器证明

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1、关于一个征解问题的机器证明河北省卢龙县燕河营镇中学（066407）王晓东在2008年出版的初中版《中小学数学》教师版第11期《读编往来》栏目中，一位教师提出了一个征求解答的几何问题。提出的几何问题为：已知△DEF是等边三角形，D、E、F在△ABC三边上，且AD=BE=CF，问△ABC是否一定是等边三角形？最近在研读《中小学数学》刊物时，发现了这个问题。看到这个问题后，它始终在我的头脑中萦绕，不断来回翻腾，一直在思索如何证明这个问题。我想到了《几何画板》，运用《几何画板》软件也许可以证明这个问题。这个问题中△DEF是等边三角形，根据题目的要求A

2、D=BE=CF，所以点A的运动轨迹是以D为圆心，AD的长度为半径的圆。同样的道理，点B的运动轨迹是以E为圆心，BE的长度为半径的圆；点C的运动轨迹是以F为圆心，CF的长度为半径的圆。顿时我豁然开朗，初步理清了证明这个问题的思路。下面我说明如何运用几何画板证明这个问题。打开几何画板，点击自定义工具——三角形——等边三角形，在软件窗口中画一个等边三角形。点击文本工具，为等边三角形的三个顶点标记字母，分别为D、E、F。点击画点工具，在等边三角形的三边DE、EF、DF上分别点击出三个点，分别标记三个点为L、M、N。然后分别以D、E、F为圆心，分别以D

3、L、EM、FN为半径画三个圆。具体步骤为：点击选择对象工具，选中点A和点L，（先选中的点为圆心），点击菜单项“构造”——“以圆心和圆周上的点作圆”，构造出第一个圆，其他两个圆做法同上。点击画点工具，在圆D上取一点A，这个点应取在射线ED和线段DF所形成的角范围内的圆D的圆弧上。经过点D和点A作直线与圆E相交于两个点。标记直线AD与圆E相交的两个点中位置在下方的点为B点。经过点B和点E作直线与圆C相交于两个点。标记直线BE与圆C相交的两个点中位置在右方的点为C点。经过点C和点F作直线与直线AD相交于一点。直线的具体作法为，以作直线AD为例，点击

4、选择对象工具，选中点A和点D，点击菜单“构造”——“直线”画出直线AD，然后点击选择对象工具，选中直线AD和圆E，点击菜单“构造”——“交点”，构造出直线AD和圆E的交点。点的字母的设置方法为，选中交点，点击鼠标右键，在菜单中选择“交点的标签”，如果出现的字母不符合要求，双击字母在出现的窗口中更改。三条直线构造完成之后，选中点A，点击鼠标右键，在菜单中选择“生成点的动画”，点A在圆D上逆时针方向运动，同时驱使点B在圆E上逆时针方向运动;点C在圆F上逆时针方向运动。由于点C的运动，使直线CF以点F位轴心逆时针方向旋转。当直线CF与圆D的两个交点

5、出现时，观察两个交点中上方的交点，上方的交点与点A重合时，点击鼠标停止动画。这时构造出的三角形就完全符合征解问题的题设要求。此时选中三角形ABC中的两个点，点击菜单“度量”——“距离”，测量出线段AB、BC、CA的长度。经过测量得到AB=BC=CA，证明△ABC一定是等边三角形。现在将实验测试结果列举如下：通过这问题的证明，我们知道△DEF外面的△ABC是一个等边三角形，设AD=BE=CF=r,AB=BC=AC=a通过几何画板的动态演示，可以总结出r的取值范围是0≤r≤a。（1）当r=0时，是一种极限的情况，△ABC与△DEF互相重合。点A与

6、点D重合，点B与点E重合，点C与点F重合。（2）r=a时，△ABC与△DEF呈现一种十分特殊的关系，△ABC的边AB∥DF，BC∥DEAC∥EF,并且△ABC的边长是2r。（3）当r＞a时，△DEF的外面不存在符合要求的三角形。电话：13513359201Email：wangxiaodong20062006@126.com