关于Stolz定理的一个证明.pdf

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1、第31卷第1期内蒙古农业大学学报Vo1．31No．12010年3月Mar．2010JournalofIdnerMongo~aAgriculturalUniversity关于Stolz定理的一个证明李树华(1．内蒙古农业大学理学院，呼和浩特010018；2．铁岭师范高等专科学校，铁岭112001)摘要：本文利用极限的定义，极限的四则运算法则及恰当的等价变形给出Stolz定理(型)的1个简单易懂的证明法．关键词：极限的定义；极限的四则运算；Stolz定理中图分类号：o171文献标识码：A文章编号：1009—3575(2010)01—0282—04

2、ANPRVINGONSTOLzTHEOREMLIShu．hua(1．Col~geofSciences，InnerMongoliaAngriculturalUniversity，Hohhot010018，China2．TielingNormalCollege，Tieling112001，China)Abstract：Bydefinitionoflimit，ruleoffourfundamentaloperationsoflimitandrightequivalenttransforms；Thepaperslvenaneasymethodforp

3、rovingSTOLZtheoremKeywords：Definitionoflimit；fourfimdamentalopemtiomoflimit；STOLZtheorem．Stolz定理是数学分析中用来证明或者是计算某种类型极限时很有用的1个定理，但是许多数学分析书上关于该定理的证明都比较复杂，尤其是初学者都不容易看懂，下面本文给出1个简单易懂的证明方法。Stolz定理(型)：设有数列)}，其中}是严格递增且趋于+o。的数列，如果O0lim_an-an-1—___：A(A可以是有限或无限)n-4．~oD一D一l~tVz,lim：An．-

4、．~oo证明：(1)设是有限数因为lim了an-an-1—_：A，故对V>0，3N，当Ⅳ时，有—}￡一￡—l—一<—!二—!二一A<，即BuA一<—竺二—!二0故(一)(一一1)

5、lz定理的一个证明283(A一)(一一1)N，当，2Nt时有I竿

6、】中，导入上述()式后，接下来的证明方法如下：an一一由()式有一<卜鱼：<+故(一一)+<詈<(+一)+由此可得A—liminf_anlimsupA+。。∞再让0，即得Aliminf_anlimsupa—nA，oOOn—∞由此lim—an：。。On这个方法虽然比文[1]的简单些，但涉及到了上下极限，而上下极限对初学者也是较难掌握的内容。下面本文只利用利用极限的定义及其四则运算法则给出1个简单易懂的证明法．anaN—l由()式有：<+内蒙古农业大学学报2010芷日aN—lb即对V>0，3N，当n≥Ⅳ时有：一I

7、的定义=A1一—ON-1—又因为+o。，故由极限乘法的运算法则anaN一1lim(a"一_lim)(1一bN-1)=⋯n∞n--)．oo(}1

8、v一1limaN-1=0；2NN⋯—∞，)"再由极限加法的运算法则lim_an：lim[(一)+]=Art-~．oobnrt-->oobnbnbn(2)设A是+oo因为lim二：+oon-．-~oobn—bn一1故3N，当≥Ⅳ时，有>1，即-an-I>一一1>0则}单调增加，y．~Y-a一aN=(a”一an-1)+(口一1一a一2)+⋯(aN+2一aN+1)+(Ⅳ+l—aN)>(一一1)+(一1一一2

9、)+⋯(+2一bN+1)+(6Jv+l—bN)=一bN+oo故口”—+∞应用(1)的结果lim塑：O—∞口一口一l故lim：0，即lim—an：+。。n—o。aHn