03.一个有趣的数论问题

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1、2012年第1期一个有趣的数论闻题陶平生(江西科技师范学院数学与计算机科学系，330013)中图分类号：O156．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2012)01—0011一o4第二问才是考查的重点．1概述为了整套试卷的难易搭配，命题组去掉2011中国西部数学奥林匹克有这样一了“四边形”的情形，而将“三角形”扩充至一道试题：般的奇数边形的情形．是否存在奇数／／,(n≥3)及n个互不相同(I)的答案是“不存在”．解法与西部赛的质数Pl，P2，⋯，P，使得P+P⋯(i=l，2，题的解答基本相同；⋯，n,p：p)都是完全平方数?请证明你(2)

2、的答案是“存在”．此时，需要用到构的结论．造法，具体方法如下：提供的原题是：若质数序列(a，b，c，d)构成一个“优质将／"t个互异质数fl,，，a：，⋯，Ⅱ分别填写四边形”，记于一个凸n边形，⋯的n个顶点处，a+b=，b+c=．使得n边形的每条边上两端点的填数之和C+d=ks．d+口=Z．a1+a2，a2+a3，⋯，a一l+a，an+a1皆是完全平方数，称这样的一个r／,边形A。：⋯A为因(口+b)+(c+d)=(b+c)+(d+a)，一个“优质n边形”；所以，m+k=n+Z．若两个优质几边形AA⋯A与⋯B注意到，若正整数p、g皆是两平方和：顶点

3、处所填的2个质数a。，a：，⋯，a，b，P=戈+，，2，g+口。，b，⋯，6两两互异，且则其乘积朋也可表为两平方和，且al+a2=bl+b2，Pq=(+y)(+。)an1+an=bnl+bn，=一—(+)+(uy—vx)a+al=b+bI，=(+)+(眦一)．则称这两个n边形是相互平等的．当x．y、、t3皆是奇数，或者x,y与、秒之试确定：是否存在：’(1)两个相互平等的优质三角形?中有一组全为偶数时，上式右端的四个平方数皆为偶数．(2)两个相互平等的优质四边形?证明你的结论．据(1+3)(4+6)设计的意图是，第一问用来“送分”，而=(3x4—1

4、×6)+(1×4+3×6)收稿日]朝：2011—11—20=(1×4—3×6)+(3×4+1×6)，12中等数学得6+22=14+18．2问题延拓口+6=6=36．6+c：14：196．由上述自然会想到后续的如下问题：令C+d=22--484，对任意偶数2n(n≥2)，是否存在优质d+n=18=324．2n边形?从最小的一个和数36开始考虑．或者更进一步?是否存在Ji}(Ji}≥2)个两不妨设t／,

5、1)，(7,29)，(13，23)，(17，19)．(1)先说明：存在多个两两相互平等的于是，有表1．优质四边形．表1据(1+9)(3+7)：20+66=34+60．8571317可令631292319口+b=20=400．C165167173177b+c=34=1156．d3193173113O7c+d=66：4356．易知，表1中有5I165，3l177，则全为质d+口：60=3600．数的解恰有两组：不妨设口

6、173，311)．后依次得到e,d，表中填有处表示合数，该由此产生两个相互平等的优质四边形．列剩下的数便不再给出)．表2口3l1174147538389107131137149l67173b397389383359353347317311293269263251233227C773797809839863887木929d3583355935473517球3469这样，就得到了五个相互平等的优质四可得边形．10+28=20+22．①(2)再说明：存在相互平等的优质六26一10=16×36边形．=12x48：30一18．②由(2+3)(2+8)①+②得

7、=10+28=20+22．l8+26+28=20+22+3O．2012年第1期13所以，l8+66=42+54．③口l+a2=18=324，据式③得到一对相互平等的优质四口2+a3=30=900，边形：。Xl=(l，口1，口2，2)a3+a4=28=784，=(17，1747，2609，307)，+口5=22=484，Yt=(Yl，bl，b2，Y2)+a6=26：676，=(41，1723，2633，283)．a6+口l=20=400，如图2，X与-)if中的一对质数。：17，便得到三组质数解：=307是相同的；Y与y1中的一对质数X=(l，2，3

8、，4，5，6)Y1=41，Y2：283也是相同的．：(17，307，593，191，293，383)，Y=(YI，Y2，Y