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1、一个有趣的数学建模问题（2008-04-0700：12:58）转载▼标签：数学.男生.女生娱乐一、摘要男生追女生和女生追男生这是从人类社会开始的时候就有的现象，但如何追女生，如何安排好自己的事情。这是个值得思考得问题。如今科学发达了，对男生追女生，我们也可以用数学方法进行解决.二、问题分析男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y（t)。首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析,我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是
2、引入疏远度函数X（t)。问题就转化为求解Y（t）和X(t）的相互作用关系。利用微分，很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生XXXXX的追求攻势,因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与Y（t)和X(t)的关系了。三、模型假设1、t时刻A君的学业成绩为Y（t）；2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t）；3、假设追求是同一个女生，即B女是同一个人，并且她不是歌星之类的人物；4、当A君没开始追求B女，B女
3、对A君的疏远度增长（平时发现的A君的不良行为）符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t）其中a为正常数.5、当Y（t)存在时，单位时间内减少X（t)的值与X（t)的值成正比,比例常数为b，从而dX(t)/dt=aX（t)-bX(t）Y（t）。6、A君发起对B女追求后,立即转化为B女对A君的好感，并设定转化系数为α，而随着的A君发起对B女的追求，A君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于是有dY（t)/dt=αbX(t）Y(t）-eY(t）。四、模型构成由假设5和假设6，就得到了学业与疏远度在无
4、外界干扰的情况下互相作用的模型：｛dX(t)/dt=aX—bXY；dY（t)/dt=cXY—eY}其中c=αb。（1)这是一个非线性自治系统，为了求两个数X与Y的变化规律，我们对它作定性分析。令｛aX-bXY=0；cXY-eY=0}解得系统(1)的两个平衡位置为:O（0，0），M（e/c，a/b)。从（1）的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分：F（X，Y)=cX-dln｜X
5、—aln
6、Y｜=k(2）容易求出函数F（X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点
7、.同时易见,当X→∞（B女对A君恨之入骨）或Y→∞(A君是一块只会学习的木头）时均有F→∞;而X→0（A君作了变形手术,B女对他毫无防备）或Y→0（A君不学无术,丝毫不学习）时也有F→∞。由此不难看出,在第一象限内部连续的函数z=F(X，Y）的图形是以M为最小值点,且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与z=k（k＞0）的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k(k＞0，k取无穷）是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。五、结果解释从生态意义上看这是容易理解的，由循环效应知，当A君的学习
8、成绩Y(t）下降时，B女会疏远A君,疏远度X（t)上升；于是A君就又开始奋发图强，学习成绩Y(t)又上升了.于是B女就又和A君开始了来往，疏远度X(t)又下降了.与B女交往多了，当然分散了学习时间,A君的学习成绩Y（t)下降了。然而我们可证明,尽管闭轨线不同，但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点M的两个坐标.事实上，由(1）的第二个方程可得：dY/Ydt=cX—e,两端在一个周期时间T内积分，得：∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt—dT(3)注意到当t经过一个周期T时，点（X，Y）绕闭轨
9、线运行一圈又回到初始点，从而：∫（dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以，由(3）式可得：(∫Xdt)/T=e/c.同理，由（1)的第一个方程可得：（∫Ydt)/T=a/b。模型优化考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为：｛dX/dT=aX-bXY—hX=（a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY—（e+h)Y}(4）将(4)式与（1)式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把（1）中
10、X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此，对(4）式有x’=（∫Xdt)/T=（e+h)/c，y'=(∫Ydt)/t=（a—h）/b（5）利用(5）式我们可见：攻势作用力h的增大使X’增加,Y'减少。我们的建议：考试期间,由于功课繁忙，使得追求攻势减少,即h减小，与平时相比，将有利于学业成绩Y的增长.这就是Volterra原理。此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定
