两个有趣的数论问题

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1、两个有趣的数论问题问题1：甲、乙两个教堂的钟声同时响过之后，分别每隔4/3秒和7/4秒再响一声，如果因为在1/2秒内敲响的两声无法区分而被视为同一声，问在15分钟内可以听到多少声响？ 在15分钟内，甲、乙两个教堂的钟声分别敲响了60×15÷4/3=675声和60×15÷7/4=514声。 假设以听甲教堂的钟声为主，即甲教堂的钟声都能听到，乙教堂的钟声与甲教堂的钟声间隔在1/2秒内者听不到，又设这些听不到的钟声数目为x，则在15分钟内可以听到的钟声数为675+514－x. 设n、m分别是甲、乙两个教堂的钟声敲响的次序数，则1n675，1m514.由实际意义可知满足不等式组0

2、（4/3）n－

3、（7/4）m

4、1/2的正整数n和m的个数相等，而这个相等的个数就是x.  0

5、（4/3）n－（7/4）m

6、1/2  0

7、16n－21m

8、6－616n－21m6. 设16n－21m =k（－6k6），解之可得 由1n675，1m514可得 给k（－6k6）的各允许值，分别解上述不等式组，求得t的允许值个数，即前述方程组解的个数，就是n（或说m）的个数，也就是x. 当我们给k的13个允许值，分别解不等式组时会发现，除了当k取－5和6时t都有33个对应的允许值之外，k的其余11个取值t都有32个允许值与之对应，所以共有418个t的允许值，即x=418. 所以，15分钟内若不算开始的一声，可听到

9、675+514－418=771声钟响。 问题2：任意9个连续正整数之积记作P，它们的最小公倍数记作Q，试确定R=P/Q的最大可能值和最小可能值。 先由小到大试验连续正整数的个数： 1.当个数为2时，设2个连续正整数从小到大依次为，b，则 b/[，b]=（，b）=1.此时，R的最大、最小可能值都是1. 2.当个数为3时，设3个连续正整数从小到大依次为，b，c，则 bc/[，b，c]=（b，b，bc）=(（b，b），bc)               =(，bc)=(，c) 设(，c)=h，则h

10、，h

11、c，h

12、c-=2，h=1，或h=2. 此时，R的最大、最小可能值分别是1和2. 3.当个数

13、为4时，设四个连续正整数从小到大依次为，b，c，d，由 =（）=（（），（）） =（（c,d），cd（,b））=（，cd） 知，只要讨论（，cd）即可。 试验会发现，按被2或3除分类不便推理，而按被6除分类方便。 故设=6n，则b=6n＋1，c=6n＋2，d=6n＋3，所以 （，cd）=（6n（6n＋1），（6n＋2）（6n＋3）） =6（n（6n＋1），（3n＋1）（2n＋1）） =6（6n2＋n，6n2＋5n＋1） =6（6n2＋n，4n＋1） =6（n（6n＋1），4n＋1） =6（n，4n＋1） =6（n，1） =6. 其中，第四个等号用了展转相减法，第六个等号用了最大公约数的性

14、质： 因为－2（6n＋1）＋3（4n＋1）=1，所以（6n＋1，4n＋1）=1等。 同理，当=6n＋1，=6n＋2，=6n＋4，=6n＋5时，（，cd）=2； 当=6n＋3时，（，cd）=6. 总之，当3整除时，=6；当3不能整除时，=2. 所以，此时R的最大和最小可能值分别为6和2. 4.当个数为9时，上述推理方法已很难进行，我们改换一个思路。 考虑将这9个数分解质因数：因为连续9个正整数不可能两两互质，所以至少有两个数A、B有公有质因数C，即C

15、A，C

16、B，所以C

17、（A－B），A、B是连续9个正整数之中的两个，所以

18、A－B

19、＜9，所以C只可能取2、3、5、7，下面逐个考察它们出现的次

20、数：    考察7出现的次数：两个不同的7的倍数至少差7，故这9个数中有1个或2个7的倍数。当有两个7的倍数时，其中可能1个是72的倍数而另1个不是，也可能两个都不是72的倍数，此时，R=P/Q的分解式中7的次幂只能是1；当有1个7的倍数时，无论7的次幂是几，含7的幂必同时出现在P、Q中，此时，R=P/Q的分解式中不含7；总之，R=P/Q的分解式中7的次幂至多是1。 同理R=P/Q的分解式中5的次幂至多是1。 考察3出现的次数：这9个连续数中必恰有三个3的倍数，其中一个是9的倍数；另两个仅能被3整除，所以R=P/Q的分解式中3的次幂必是2.    考察2出现的次数：这9个连续数中必有五个

21、或四个偶数。当有五个偶数时，除含2的最高次幂同时出现在P、Q中之外，另四个含2最多的情况是“两个只能被2整除，一个只能被4整除，一个只能被8整除”，此时，R=P/Q的分解式中2的次幂最大是1+1+2+3=7；当有四个偶数时，除含2的最高次幂同时出现在P、Q中之外，另三个含2最少的情况是“两个只能被2整除，一个只能被4整除”，此时R=P/Q的分解式中2的次幂最小，是1+1+2=4.    总之，由上述分析可知：R的最大可能值为：7×5