《实变函数论》中一个定理的初等证明——课程教学改革初探new

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1、万方数据第26卷第6期2010年12月大学数学CoLLEGEMATHEMATICSV01．26，№．6Dec．2010《实变函数论》中一个定理的初等证明——课程教学改革初探王敏生，姚静荪(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖24lOOO)[摘要]利用有限覆盖定理给出了一个命题的初等证明，而《实变函数论》中的一个重要定理可作为该命题的一个直接推论．由此展现作为基础的实数完备性在实分析中的重要地位，也为《实变函数论》课程的部分内容的教学改革提供一种值得探讨的新思路．[关键词]实数完备性；有限覆盖；实变函数论；绝对连续[中图分类号]0171[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(201

2、0)06—0181—03我们知道，对一个命题的内容而言，在不放弃简洁的前提下，相同的结论，所需的条件越弱越好；而对一个命题的证明方法而言，在不增加繁琐的推导过程的前提下，所用到的工具越初等越好．我们还知道，在各校新的人才培养方案中，《数学与应用数学》专业本科生的《实变函数论》课程总学时数有了较大幅度的减少，例如我校由最初的85降为目前的51．为了保证学生较好地掌握本课程的教学内容，教师面临着课程教学思路的深入探讨．本文利用《数学分析》中有限覆盖定理证明了《实变函数论》中的一个重要定理，希望能为《实变函数论》课程的部分内容的教学改革提供一种新思路．定理l[13设厂(f)在[n，6]上连续，g(

3、￡)在[口，6]上单调不递减，且在[口，6]上除了一个可数集外，有I／(￡)l≤97(f)，贝0I厂(6)--f(a)I≤g(6)--g(a)．文F1]对此的证明用到了完全覆盖[2]的概念和文[2]的一个引理，为了使下面的定理2可作为其特例，我们对其条件进行调整，而对它的证明方法仅用到《数学分析》中的最基础的知识．命题设，(f)在[口，6]上绝对连续，g(￡)在[口，6]上单调不递减．若I厂，(f)I≤97(￡)a．e．于[口，6]，则I，(6)--f(a)I≤g(6)--g(a)．证因为，在[n，6]上绝对连续，故对任意给定的e>O，都存在3>0，使得对[口，6]中互不相交的任卅意有限个开

4、区间(口，，b；)，i=1，2，⋯，m，只要≥：(抚一口；)o，存在开区间列{J。)，使得∞-三三一Fa，6]＼E∈UI。且≥：Ij。I<艿，(其中IJ。l表示J。的长度)，^21H—l则对任意的tE[n，6]，只有如下两种情形：(i)当￡∈E时，因为l／(￡)I≤97(￡)，则存在况>o，使得当yEEt-3,，￡+拭]＼{t}时，[收稿日期]2009一01一l1；[修改日期]2009—04—21[基金项目]安徽省《数学分

5、析》精品课程建设项目(教秘高[2005166号)万方数据182大学数学第26卷I＆幽I<致幽+￡．Y—zY—f事实上，10当I厂(￡)I<97(￡)时，显然．2。当l／(￡)l=97(￡)时，令lim丛掣I：lim丛掣：口≥o，I广lY—f广fY一‘则limI丛皇兰羔塑I：口．对上述￡>o，存在&>o，使当y∈(t一盈，￡+盈)＼{t}时，rfV—t。l掣I<口+号，警>口一号，于是l丛学l<口+专<丛掣+e．从而当yE[f一盈，￡+挽]时，有I厂(y)--f(t)I≤g(y)--g(t)+e(y一￡)，当y>／t时(2)或I，(y)--f(t)I≤g(y)--g(t)+e(￡一y)，当y≤

6、f时．(3)(ii)当￡∈[口，6]＼E时，因为{j。}为[口，6]＼E的一个开覆盖，则存在f～∈{J。}，使得z∈J～，而I。。为开区间，所以存在哉>o，使得[￡一况，f+盈]cJ。。，从而这种区间互不相交且长度总和小于艿．令G={J。If∈[n，胡}，其中J。=(t--d,，￡+文)，则G为[n，6]的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在G一{．，"J，：，⋯J～}CG，使G为[口，胡的一个紧凑的有限覆盖(所谓紧凑是指去掉任一个J∥1≤忌≤咒，6都不能覆盖[口，6])．不妨设口≤tl<如<⋯<乙≤6，显然tz一&。<口≤f2--&：

7、。<“一1+况。≤6<“+岔。．记yl=口，则Y-∈Et,一a。，tl+a。]．记Yz=min{tz，tl+a。)，则一方面，由tz>tz一国。及tl+a，>tz一&：可知Yz>tz一如，结合Yz≤tzt->tl一琬。及tz+屯>tl一&。可知Yz>tx—a，，结合Yz<一t·+&。有Yz∈Etl一况。，tl+盈。]，因此Yz∈(t2一盈：，