一元二次方程的正整数解

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1、训练专题三——一元二次方程的整数解　一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有　_________　个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有　_________　个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=　_________　．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完

2、全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是　_________　．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=　_________　．　二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（

3、　　）　A．B．C．D．　三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．　8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．　9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．　10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及

4、方程的根．　11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．　12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．　13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．　14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．　15．（6分）已知a是正整数，且使得关于

5、x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0至少有一个整数根，求a的值．　16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．　17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．　18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2

6、x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．　新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析　一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有　5　个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。1350138专题：计算题；分类讨论。分析：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、

7、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．解答：解：①当6﹣k=0，即k=6时，则原方程为﹣（117﹣15×6）x+54=0，解得x=2；②当9﹣k=0，即k=9时，则原方程为﹣（117﹣15×9）x+54=0，解得x=﹣3；③当6﹣k≠0、9﹣k≠0时，即k≠6且k≠9时，x1=，x2=；①当6﹣k=±1，±3，±9时，x是整数，此时k=7、5、3、15、﹣3；③当9﹣k=±1、±2、±3、±6时，x是整数，此时k=10、8、11、7、12、15、3．综合①②知，k=3、15、6、7、9时，原方程的解为整数．故

8、答案为：5．点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此类题目时，系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．　6．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有　5　个．考点：一元二次方程的