解一元二次方程的方法

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1、解一元二次方程的方法定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadraticequationofonevariable)。一元二次方程有四个特点：　(1)含有一个未知数；　(2)且未知数次数最高次数是2；　(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。　(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）补充说明1、该部分的知识

2、为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)　2、该部分是高考的热点。　3、方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2=-b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）　4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)　5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。一般式　　ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方式　　a(x+b/2

3、a)^2=(b^2-4ac)/4a^2  两根式（交点式）　　a(x-x1)(x-x2)=0　　一般解法1.分解因式法　　（可解部分一元二次方程）　　因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。　　如　　1.解方程：x^2+2x+1=0　　解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0　　解得：x?=x?=-1　　2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0　　解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0　　即x-3=0或x+

4、1=0　　∴x1=3，x2=-1　　3.解方程x^2-4=0　　解：（x+2）（x-2）=0　　x+2=0或x-2=0　　∴x?=-2，x?=2　　十字相乘法公式：　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)　　例：　　1.ab+b^2+a-b-2　　=ab+a+b^2-b-2　　=a(b+1)+(b-2)(b+1)　　=(b+1)(a+b-2)2.公式法　　（可解全部一元二次方程）　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根　　1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）　　2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的

5、实数根即x1=x2　　3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a　　来求得方程的根3.配方法　　（可解全部一元二次方程）　　如：解方程：x^2+2x－3=0　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4　　因式分解得：（x+1)^2=4　　解得：x1=-3,x2=1　　用配方法解一元二次方程小口诀　　二次系数化为一　　常数要往右边移　　一次系数一半方　　两边加上最相当4.开方法　　（

6、可解部分一元二次方程）　　如：x^2-24=1　　解：x^2=25　　x=±5　　∴x?=5x?=-55.均值代换法　　（可解部分一元二次方程）　　ax^2+bx+c=0　　同时除以a，得到x^2+bx/a+c/a=0　　设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m(m≥0)　　根据x1*x2=c/a　　求得m。　　再求得x1,x2。　　如：x^2-70x+825=0　　均值为35，设x1=35+m，x2=35-m(m≥0)　　x1*x2=825　　所以m=20　　所以x?=55，x?=15。　　一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在

7、考试中运用到）　　一般式：ax^2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系：　　x1+x2=-b/ax1*x2=c/a如何选择最简单的解法　　1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）　　2．看是否可以直接开方解　　3．使用公式法求解　　4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。如果要参加竞赛，可按如下顺序：　　1.因式分解2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.表示法例题精讲1、开方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方

8、法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)