必修4第二章 平面向量

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1、必修4第二章平面向量背景资料——向量进入中学数学的背景分析1、从几何的历史和发展看向量的地位：几何的历史和发展大约经历了如下几个阶段，实验几何、演绎几何（综合几何）、代数几何、拓扑、分析几何直到现代的整体微分几何和大范围分析和代数拓扑．建立在某个代数结构或一般集合上的几何结构的研究是大的方向，即几何代数化是几何研究发展的必然趋势．同时，几何、代数和分析也越来越相互关联，互为工具．几何处理的“向量化”，也就是几何代数化的一个方面．2、目前我国中学数学中几何代数化的处理：包括代数方程，如这样的形式，再加上坐标几何的学习．但由于代数曲线和曲面的进一步学习和研究更为抽象，如果中学阶段的学

2、习和研究仅停留在二维平面中的圆锥曲线分析上，以此为基础很难发展到高次、高维曲线和曲面的代数结构分析和分类，代数几何的发展要求是中学数学学习向量的必然原因．3、向量的双重性：向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构．通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．4、认识向量的另外角度：把平面和空间看出是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认识，比如在学习平面向量基本定理后，可以发展学生把平面看成一个2维的代数系统，这个系统就是

3、由两个不平行向量的线性组合得到，同样在空间上可以使学生认识到3维扩建就是一个有3个不共面的向量生成的一个代数结构．而结构数学是现代数学发展的主要方向．5、“数、量与运算”的扩大：从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”，把向量的加法（减法）、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断的发展．6、数学和物理学的关系在向量中的体现：数学和物理学的关系在中学阶段应该得到重视和发展，向量在力学中的应用即使在中学阶段也是不难发现的．7、数学“机械化”与向量的关系：吴文俊先生在《数学教育现代化问题》一文中明确指出：数学教育现代化问题就是机械化问题．8、向量的教

4、学实践过程可行性问题：在中学阶段引入是完全可以接受的．第一，学生有初步的平面坐标几何的基础；第二，教师有良好的立体几何的教学背景，教师在把传统的综合几何转移到向量代数处理立体几何时有很好的直观背景，并可以使之迁移到学生的学习过程中去．除此之外，现代化技术（包括多媒体教学技术和后PC时代的掌上技术）在向量的“教与学”中可以帮助教师和学生．利用图形计算器、计算机和动态几何软件不仅可以解决几何“直观性”的问题，同时也使得学生的向量学习入门更容易理解．9、对向量的认识误区：向量进入我国中学数学课程是一个不可逆转的趋势，但在整个发展过程种也不可避免地出现了一些在这个问题上的认识误区．认为向

5、量就是把立体几何简化论和解题方法的多样性．的确，向量的引入有助于平面几何与立体几何某些问题的解决，同时也为其它一些初等数学问题的解决提供了更多的选择．但问题的关键不能仅仅停留在这个层次上来看待向量在中学数学中的引入，而应该从更大的范围和角度认识向量，最为重要的是较为全面地把握向量的发展与其它数学结构的关系．2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念一、问题探究：问题1我们知道物理学中“力”是既有大小又有方向的量，结合生活实际，请比较这类量与长度这类量的区别？进一步谈谈位移、向量与矢量的区别与联系，并体会什么是“自由向量”，举例说明；答：位移是自由向量，向量分成自由向量和有作用点的向

6、量．矢量是物理学中的向量．问题2类比实数的性质，向量怎么表示？能不能说两个向量相等？进一步我们就像知道它是不是有加减乘除运算？答：有向线段是向量的直观形象．用表示有向线段．方向相同，长度相等的向量是相等向量，可以用一条有向线段表示．只是方向相同的向量，不能用一条线段表示．关于向量的线性运算我们下一节课将深入学习。问题3实数中有0，有1，有互为相反数的数，在向量体系中有没有对应的概念？答：有零向量，长度为零，方向不确定的向量，与任何向量都共线，也与任何向量都垂直．有单位向量，就是模长为1的向量，模长相等，方向相反的向量就是相反向量。二、例题分析图2-1例题1如图2-1，在等腰梯形A

7、BCD中，AB∥CD，E、F分别是对角线AC和BD的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中（1）找出与共线的向量；（2）找出与相等的向量；（3）找出与相等的向量．分析：①向量的平行与共线是同一个概念，因此在判断时要注意与平面几何中的区别，并且抓住“方向相同或相反”；②与、的方向无关．解：（1）与共线的向量有：、、、；（2）与相等的向量有：；（3）与相等的向量有：、、、、、、．例题2（1）设，，为三个平面向量，下列命题：①若，，则；②若∥，∥，则∥；③若，则；④若，则