一轮复习函数的奇偶性

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1、2.3　函数的奇偶性与周期性考纲要求1．理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定，会借助函数的奇偶性研究函数的其他性质．2．了解函数周期性的定义，能利用函数周期性来研究函数的其他性质．知识梳理1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有________，那么称函数y＝f(x)是偶函数；如果对于任意的xA，都有________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于___________对称，偶函数的图象关于___________对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上

2、的单调性______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性________．(2)①在公共定义域内，f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f(x)±g(x)是________，f(x)·g(x)是________，f(g(x))是________．②在公共定义域内，f(x)是偶函数，g(x)是偶函数，则f(x)±g(x)是_____________，f(x)·g(x)是________，f(g(x))是________．③在公共定义域内，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则f(g(x))是________，g(f(x))是_______

3、_．3．周期性：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任意一个值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为函数的周期，若T是函数的所有周期中最小的正数，那么T叫做f(x)的最小正周期．基础自测1．f(x)＝－x的图象关于__________对称．2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1是偶函数，则f(x)的单调减区间是__________．3．f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，则f(x)＝__________.4．(2013届江苏名校月考)已知函数f

4、(x)是R上的偶函数，若对于xR都有f(x＋2)＝f(x)，且当x[0,2)时f(x)＝2x＋2＋8，则f(－2010)＋f(2011)＝__________.5．奇函数f(x)定义在[－1,1]上，且在[－1,1]内是减函数，若f(a)＋f(a－1)＜0，则实数a的取值范围是______．基础自测1．原点　；2．(－∞，0]；3.；4．28　；5.思维拓展1．如何判断函数的奇偶性？提示：判断函数的奇偶性主要根据定义，其中包含两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有

5、等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价式子(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．对于函数y＝f(x)满足：f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，能否说明f(x)是偶函数？提示：不能．函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质，要对于定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)成立，y＝f(x)才是偶函数．3．奇函数y＝f(x)在原点有定义，一定有f(0)＝0吗？提示：一定有f(0)＝0.由奇函数的定义，f(－x)＝－f(x)⇒f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.探

6、究突破【探究突破一】函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－

7、x

8、＋1，x[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)，x(－1,1)；(3)f(x)＝.解：(1)由于f(x)＝x2－

9、x

10、＋1，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，因此，f(x)是非奇非偶函数．5(2)f(－x)＝(－x－1)＝－(x＋1)＝－＝－＝－＝－(1－x)＝(x－1)，∴f(－x)＝f(x)．又∵该函数定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数．(3)由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)＝＝，∴

11、f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．【方法提炼】1．判断函数奇偶性的方法：(1)观察函数的定义域是否关于原点对称，若不是则函数不具有奇偶性．(2)若满足f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；若满足f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；若以上两种情况均满足，即f(x)＝0，则该函数既是奇函数又是偶函数；若以上两种情况均不满足，则函数不具有奇偶性．2．分段函数奇偶性的判断：要分别从x>0或x＜0来探究等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具备确定的奇偶性．3．对于复

12、杂函数判断奇偶性，先在定义域内化简解析式，再用定义判断奇偶性，否则可能得到错误结论．【针对训练1】下列函数：[来源①f(x)＝＋；②f(x)＝ln(x＋)；③f(x)＝；④f(x)＝lg.其中