双曲线的几何性质 韦明

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1、课题：双曲线的几何性质教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等；2．能根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、离心率等问题；3．能根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程；4．掌握之间的关系及相应的几何意义．教学重点双曲线的几何性质及初步运用．教学难点双曲线的渐近线方程的导出和论证．教学过程复备栏一、问题情境1．情境：在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质．2．问题：双曲线有哪些性质？二、学生活动小组讨论，引导学生完成下列关于椭圆与双曲

2、线性质的表格。三、建构数学1．范围由双曲线方程，可得，即或．这表明双曲线在不等式与所表示的平面区域内．引导学生类比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质让学生回答，教师引导、启发、订正并板书6思考：你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制？由双曲线方程可知，即，从而或所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线和为边界的平面区域内．2．对称性在双曲线的标准方程中，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．所以坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．3．

3、顶点双曲线与轴的两个交点，称为双曲线的顶点．记．则线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长．4．渐近线我们已经知道，双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么，从的变化趋势看，双曲线引导学生运用函数观点和方程的思想，对双曲线的范围作出更精细的限制，从而引出渐近线。6与直线具有怎样的关系？根据对称性，可以研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系．如图，设为双曲线在第一象限的点，作轴，垂足为．直线交直线于点．当向右移动时，观察长度

4、的变化．我们发现，随着的增大，长度越来越接近于．事实上，对于相同的横坐标，直线上对应的点的纵坐标为，所以长为=，当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，趋向于．这说明，随着的增大，双曲线在第一象限内的点在直线的下方且逐渐接近于这条直线．同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线的上方且逐渐接近于这条直线．根据对称性，直线也有相同的性质．我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．说明：（1）利用直线和利用直线和所围成的矩形，可以方便的作出双曲线的渐近线。6所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而可以画出

5、双曲线的草图．（2）当双曲线的实轴长和虚轴长相等时，两条渐近线互相垂直，我们把这样的双曲线叫做等轴双曲线．5．离心率：实轴长与焦距的比叫做双曲线的离心率，记为．由可得四、数学运用例1．求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．解由题意知，所以，解得．因此，双曲线的实轴长，虚轴长．焦点坐标为，顶点坐标为，．离心率．渐近线方程为．例2．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，求双曲线的方程．解根据题意知，，，解得则．因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，所以所求双曲

6、线方程为．例3．如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，且，，求该双曲线的方程．可通过椭圆类比双曲线的离心率问题。对此进行变式，让学生研究焦点在y轴上的标准方程的情形。6ABF解因为，所以．因为，所以，所求双曲线方程为．五、课堂作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；六、回顾小结1．根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、焦点、顶点、渐近线和离心率等问

7、题；62．根据双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程．3．之间的关系及相应的几何意义．七、布置作业P41习题2.3第1题(1),(2)第2题(1),(3)第3题课后反思：掌握之间的关系及相应的几何意义，大多学生掌握不熟练，应强化。6