复变函数留数复习题

《复变函数留数复习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.1指出下列函数的奇点及其类型，若是极点，指出它的级：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。解：（1），奇点：1（二级极点），-1（一级极点）；（2）奇点：0（三级极点），（二级极点）；（3），为本性奇点；（4）令，得：，因为，所以是一级极点；（5），是可去奇点；（6），且是的一级极点，是的三级极点，所以是的二级极点；（7）是的三级零点，所以是的三级极点，均为一级极点；（8）是一级极点。5.4求下列函数在各有限奇点处的留数：（1）；；（3）；（5）；解：（1）；（3）是三级极点，，；（5），；5

2、.6计算下列函数在的留数：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）展开式中不含正幂项，所以是的可去奇点，且，所以；（2）是的本性奇点，；（3）是的可去奇点，；（4）展开式中含无穷多正幂项，所以是的本性奇点，，所以。5.7证明：若是的的级零点，则是的一级极点。证明：是的级零点，可设，其中在点解析，且，，函数，在点均解析，，且是的一级零点，所以是的一级极点。5.9利用留数定理计算下列积分：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）被积函数有和两个极点在圆内，（2）被积函数有3个一级极点，，均在圆内，（3），，所以是的可去奇点，

3、则，（4）被积函数有，和6个极点在圆内，5.10计算下列积分：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）有限极点均在内，（2）有限极点均在内，（3）内只有一个一级极点：，（4）所以，5.11计算下列积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（8）解：（1）被积函数的分母在内不为0，所以积分有意义。的两个极点中只有在圆内，所以（2）设，（3）令，在实轴上无奇点，在上半平面有两个一级极点，（4），令，在实轴上恒不为0，在上半平面有2个一级极点：，，（5）令，在上半平面有1个一级极点，所以