例谈求平行四边形顶点坐标方法

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1、例谈求平行四边形顶点坐标的方法浙江省苍南县灵溪镇南水头学校（325800）黄一品13706873779在平面直角坐标系中，求平行四边形是初中数学典型题型，通常的做法是，以一组对边为斜边，过两端点分别作出垂直于x轴和y轴的作直角边，构造出两个全等的直角三角形，得到对应直角边相等，从而转化为四边行对边顶点坐标差相等，解得未知顶点坐标。例如：如图，在中，A，，，求D点坐标。解法：作AE⊥y轴，DE⊥x轴，交于点E，BF⊥y轴，CF⊥x轴，交于点F，易得Rt△ADE≌Rt△BCF∴DE=CF，AE=BF设

2、D（X，Y）∴3-X=6-4，Y-=，∴X=1Y=∴D(1,)这一方法看似简单，但需要知道平行四边形的形状，再添四条辅助线，显得比较繁琐。如果只知道三个顶点，在未确定平行四边形的形状或字母顺序情况下，则要分三种情况进行分类讨论，第四个顶点就有三个。若求平行四边形顶点问题再与动点和函数相结合，作出平行四边行图形将比较难，在这种情况下，再构造直角三角形全等，就更为复杂困难了。其实，解决平行四边形顶点坐标问题，由平移的性质来解决会更简便。由平移的性质可知：在平移过程中，图形上每个点都沿相同的方向移动了相

3、同的距离。根据这一性质，我们可以利用图形变换与坐标变换关系写出变换后图形上点的坐标，而平行四边形可以看成由一条线段AB沿一定方向平移到CD，再连结AD，BC就形成了平行四边形ABCD（如图），所以A到D和B到C就有一致的平移变换方式，即向左右和向上下平移的距离相等，或得到对应顶点坐标差相等，就可以简便地解决顶点坐标问题。请看下面例子，例1：已知：平行四边形三个顶点，A，，，求点D的坐标。分析：平行四边形没给出图形或字母顺序，所以要分三种情况分类（1）当BD为对角线时，由DC∥AB，可看成由AB沿B

4、C方向平移得到，则A与D，B与D是平移变换后的对应点，因为点，，可知C点是由B点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到，所以点A向左平移2个单位，向上平移2个单位得到。（2）当AD为对角线时，由AB∥CD，可看成AB沿AC方向平移得到。则A与C，B与D是平移变换后的对应点，因为点A，3，可知C点由A点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，所以点向右平移1个单位，向上平衡3个单位得到点（3）当CD为对角线时，由AC∥DB，可看成AC沿CB方向平移得到，则B与C，D与A是平移变换后的对应点，因为点A

5、，，可知A点由C点向左平移1个单位，向下平移3个单位得到，所以B点向左平移1个单位，向下平移3个单位得到D综上述，点D的坐标为，或。例2，已知：如图，在平面直角坐标系中，A（8，2），C（6，8），C点在y=x的图像上，且四边形OABC是平行四边形，Q为BC的中点。（1）求点B与Q点的坐标（2）若M为直线OC上的一动点，作MN∥AQ交y轴与点N，问是否存在以A、Q、M、N为顶点的平行四边形，若存在请求出点M的坐标。分析：（1）设P为OA的中点，作PE⊥x轴，E为垂足，AF⊥x轴，F为垂足，显然PE

6、是△OFA的中位线，∴PE=AF，OE=OF。因为A（8，2）∴OF=8，AF=2∴PE=1，OE=4，∴P（4，1）可以看成OA沿OC方向平移到CB得到6个单位，向上平移8个单位至CB∴A点和P点向右平移6个单位，向上平移8个单位得到B（14，10），Q（10，9）。（2）∵M在y=x的图像∴可设M（x，x）①若AN是对角线，由MA∥NQ可看成由AM沿AQ平移到NQ得到，∴Q与A，N与M是对应点，由Q（10，9），A（8，2）可知Q点是由A点向右平移2个单位，再向上平移7个单位得到。∴M点向右平

7、移2个单位，向上平移7个单位得到点N（x+2，x+7）∵N在y轴上，∴x+2=0即x=-2∴M（-2，）②若AM是对角线，由QM∥AN可知由QM沿QA平移到AN得到，∴Q与A，M与N是对应点，由Q（10，9）A（8，2），可知A点是由Q点向左平移2个单位，再向下平移7个单位得到，∴M点向左平移2个单位，再向下平移7个单位得到点N（x-2，x-7）3∵N在y轴上∴x-2=0∴x=2∴M(2，)综上所述，存在以N、M、A、Q为顶点的平行四边形，且M点的坐标为（-2，-）或（2，）。由此可见，在平面直角

8、坐标系中，求平行四边形顶点坐标问题，可通过构造两个全等的直角形，或运用平移变换的性质，化归到一组对边顶点横纵坐标差相等来解决。由于构造全等的方法，要作出较精确的图形，且需添较多条辅助线，比较繁琐复杂，相比之下，运用平移变换的性质，不需添辅助线，只需明确平移变换的方式，就可简捷地解决求平行四边形顶点坐标的难题。3