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1、求顶点坐标的四种方法学习了二次函数，求二次函数图象的顶点坐标作为一种重要题型时常见到，在解决有关问题时，我们可以根据题目的不同特点，选择恰当的求解方法.一、配方确定法对于二次函数y=ax2+bx+c，根据系数a、b的特点，通过配方变成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,这时的顶点坐标为(h,k).例1求二次函数y=x2-2x-1图象的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．分析：要求该函数图形的顶点坐标，观察关系式的特点，其二次项系数为1，一次项系数为偶数，所以利用配方法求顶点坐标比较合适.解：因为y=x2-2x-1=x
2、2-2x+1-1-1=(x-1)2-2所以顶点坐标为（1，-2）令y=0，得x2-2x-1=0解得x1=1+,x2=1-.所以与x轴的交点坐标为(1+，0），（1-,0）.提示:当提取二次项系数后,一次项的系数是偶数,则一般利用配方法求二次函数的顶点坐标.二、公式确定法对于二次函数y=ax2+bx+c，当系数a、b之间没有什么特殊关系时，可利用公式法求二次函数图象的顶点坐标，即二次函数图象的顶点坐标是（）.例2已知二次函数y=2x2-5x+1，求该函数图象的顶点坐标.分析：由于函数y=2x2-5x+1的系数a、
3、b没有什么特殊的关系，所以利用公式法求顶点坐标比较方便.解：因为a=2，b=-5，c=1，所以，，所以二次函数y=2x2-5x+1图象的顶点坐标是（）.提示：这类问题也可以只求到的值，然后将求到的值直接代入关系式求顶点的纵坐标，有时会更简单.三、对称点确定法若点(m,k)和(n,k)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个已知点,则这两点关于抛物线的对称轴对称,且对称轴是直线x=,抛物线顶点的横坐标是,将x=代入y=ax2+bx+c就可确定顶点的纵坐标.例3已知二次函数y=2x2+bx+5的图象经过点(2,3)和(
4、-4,3),求该抛物线的顶点的坐标.分析:因为点(2,3)和(-4,3)的纵坐标相同,所以可两点关于对称轴对称,则对称轴为直线x=,即顶点的横坐标为-1,又对称轴为x=-,所以b=4,所以顶点的纵坐标为y=2×(-1)2+4×(-1)+5=3,所以抛物线的顶点的坐标是(-1,3).提示:本题也可以将x=2,y=3直接代入关系式先求到b的值,然后再利用配方法或公式法求解.四、两点式确定法对于形如y=a(x-m)(x-n)型的二次函数图象的顶点坐标可以用简便的方法求解,因为这个函数与x轴的两个交点为(m,0)和(n
5、,0),所以其顶点横坐标为,将x=代入关系式可得顶点的纵坐标为-a.例4已知二次函数y=(x+5)(x-3),求次二次函数图象的顶点坐标.分析:本题然后将关系式化为一般形式,可以求到顶点的坐标,但化简比较麻烦,因为根据图象可以观察到与x轴两个交点的坐标为(-5,0)和(3,0),所以该抛物线顶点的横坐标为,顶点的纵坐标为-×()2=-8.所以二次函数图象的顶点坐标为(-1,-8).提示:把求到的顶点的横坐标直接代入关系式求解也比较简单.
