02012509_邱浩哲_非欧几何的发展

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1、非欧几何的发展摘要：经过几千年来对《几何原本》第五公设证明的失败，数学家们反思认为第五公设是不可证明的，并存在一种独立于欧式几何之外且不自相矛盾的新几何体系。经过罗巴切夫斯基与黎曼的不懈努力，分别创造了罗氏几何与黎曼几何，颠覆了传统意义上的欧式几何，取得了巨大成功。关键词：第五公设，罗巴切夫斯基，黎曼一、非欧几何的定义非欧几何全称是非欧几里得几何，它是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几

2、何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。我们这里讲的大都是通常意义。二、非欧几何的背景众所周知，在几何的发展史上，由古希腊几何数学所确立的逻辑论证，一直是西方几千年来一直恪守的规则。比如在牛顿、笛卡尔等的物理研究中，也是严格遵守《几何原本》里的论证方法。但是事实上，早在古希腊时代，就有数学家曾对《几何原本》里的第五公设产生过分歧。欧几里得提出的第五公设（同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交）又被人们称作“平行公理”——过直线外一点，做一条且只能做一条直线

3、与已知直线平行。在这条公理中，我们可以看出，该公理文字偏长且它运用了无限延长的描述，这与“实无限”与“潜无限”的观念有抵触，乃至于甚至连欧几里得本人对第五公设的应用也有相当的犹豫。在历史的进程中，古希腊的托勒密曾试图证明第五公设。但是实际上他给出的证明已经假定了与两直线平行的相关内容，所以这个证明是无效的。类似的证明在两千多年来数不胜数，但最后的结果却只是得到了若干与第五公设相等价的命题：所以三角形的内角和均相等；通过一角内任一点可以作与此角两边相交的直线；垂直于锐角的一条边的直线，必与此锐角的另一边相交；以及著名的“平行公

4、理”。在经过无数次的失败后，有些数学家开始反思并改进证明方法，试图从相反的规定引起矛盾从而使用反证法证明第五公设，其中数学家萨凯里所进行的尝试具有相当重大的意义。他在《除去欧几里得所有的污点》一书中认为：由于平行公理的可疑情况，他已经“辨明了欧几里得的所有的污点”。他设想如果在假设第五公设不成立的情况下导出了矛盾，就等于证明了第五公设。他从直线AB的两端垂直地作两条相等的垂线AX、BY，并相信用归谬法证明了AXY、BXY两个角一定是直角。但实际上他的证明存在一个逻辑的错误，他把有限图形的性质在没有任何理论证明的情况下任意的推

5、广到无限图形。由于萨凯里至死都相信第五公设的正确性，他并未意识到有创造一个全新的几何系统的可能性。经过漫长的几何发展史，数学家们渐渐产生了这样的初步认识：第五公设是不能被证明的，而且可能存在与欧式几何完全不同且没有矛盾的逻辑体系。三、非欧几何的建立早在1816年，德国数学家高斯就已经考虑发展这样一种几何学：它既可以避免平行公理，又可以像欧几里得几何那样的本身相容。他曾做过大量的研究与长期的深入思考，获得了不少卓越成果。比如“非欧几何”的名称就是由高斯提出的，一直沿用至今。高斯在他的研究中提出了两个观点：第一，第五公设不能用“

6、人类的理智”给出证明，；第二，他对“欧几里得几何与物理空间的性质具有先验的一致性”提出了极大怀疑。但遗憾的是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法。在非欧几何的发展史中，最早发表对非欧度量空间的研究成果的是俄国科学家罗巴切夫斯基。1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。1829年罗巴切夫斯基又在喀山大学

7、校刊《喀山通讯》发表了论文《论几何学原理》。在这篇论文中，罗巴切夫斯基基于阐述这一新的几何学原理首创性地提出了一系列新概念，如极限圆、平行角等。而且他提出了一个著名的非欧几何原理：过直线外一点做该直线的垂线和平行线，两者所成的角不是直角，而是比直角小。在罗巴切夫斯基于1840年发表的论著《平行线理论的几何研究》中，他认为欧几里得的平行公理并不是建立几何系统所不可缺少的条件。他大胆地说，这个公里完全可以用以下说法替代：假设平面一直线外有一点，在从这个给定点射出的所有直线中，有些和给定的点相交，还有些和它不相交。分开这两类直线的

8、是一条界限，这条界限称作与给定直线平行的线。这样，通过任意给定点存在有两条直线和给定的直线平行，其中每个点相交于无穷远。罗巴切夫斯基论证了利用他的假设确实可以创立一个自身相容的新几何体系。罗巴切夫斯基对几何学的贡献是卓越的，但这一重大成果刚一公诸于世，便遭到正统数学家的冷漠和反对。在创立和