力学竞赛理论力学部分练习题

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1、力学竞赛理论力学部分练习题一、四叶玫瑰线你能一笔画出图示曲线吗？如图所示为一四叶玫瑰曲线，其极坐标表达式为。请你进行分析计算和设计：（1）写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式；（2）利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。题2图解：（1）对于四叶玫瑰曲线，在直角坐标系中可写成（图3-1）将代入上式，得（1）利用三角函数的积化和差公式可得（2）图3-1图3-2（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮在固定内齿轮内作纯滚动，其中内齿轮的半径为，小齿轮的半径为，画笔所在点离小齿轮圆心的距离为。随系杆的转动，其点的轨迹为利用小齿轮的纯滚动条件，有，代入上式可得作变

2、换，令，上式可改写为（3）对照式（2）和式（3）中的系数，有，，联解之，得，，（4）做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出的四叶玫瑰曲线。二、手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；（3）给出笔与手指间的摩擦因数随长度变化应满足的条件。手指转笔的刚体简化模型：如题2图所示，设手指为半径为的圆柱，笔为一回转半径为的细直杆（对质心C转动惯量为）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为的A处与手指相切，初角速度为，设，

3、且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。（江苏技术师范学院）题2图解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒，。（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点（圆柱上的点），此时杆绕旋转的角速度为，质心C与A距离为。杆对A的转动惯量为，依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得故（1）设杆受压力和摩擦力，如图4-1（a）所示，，分别为质心加速度的径向和切向分量，为杆转动的角加速度。（a）（b）图4-1点加速度，由指向，且点的加速度无切向分量，而由基点法可知（2）方向如图4-1b所示，其中，。代入式（2）后，投影得，（3）根据刚体平面运动微分方程，可列出（4）联立求解

4、式（3）和式（4），可得（5）（6）（3）、分析摩擦因数应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数应满足（7）因，对，有，（）。则故三、小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为。在圆盘上P点有一个质量为的小虫，处于静止状态，如题（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）在时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫

5、沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。（江苏技术师范学院）（a）（b）（c）题3图五、小虫爬行问题解答解：(1)关键词：点的合成运动，动量矩守恒。（2）取小虫为动点，定参考系，动参考系固连在转盘上，与转盘一起转动。根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。设在时刻，为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为，为小虫相对于定参考系的位矢，为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度。根据点的速度合成公式，有（1）由于系统对转轴的动量矩守恒，有（2）在此问题中，，可以得到进一步有（3）设与的夹角为，则上式可以化为（4）所以，转盘转过

6、的角位移为（5）将式中的用小虫在动参考系中爬行的路程表示，可得转盘转过的角位移为（6）若用极坐标描述，有（7）则式（6）可表示为（8）从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。（3）当小虫爬行的轨迹为圆弧时，有代入式（8），得（9）当小虫沿圆弧爬行一周时，将代入上式，可得转盘转过的角度为（10）四、四两拨千斤（南京工程学院）中国武术中有“四两拨千斤”的招式。请你分析一下：（1）“四两拨千斤”与力学中的什么内容有关系？（2）试用力学原理简要解析一下“四两拨千斤”的关键所在？（3）试分析图示拔桩装置的力学原理。解：（1）力的合成（2）“四两拨千斤”是用很小的力去改变一个很大的力的

7、方向。设需改变的力为，用的力为，两力的合力为。为有效的改变力的方向，使合力与间的夹角为最大。以小力为半径画一圆，如上图示，由的起点到圆的切线方向为合力与原力间的最大值。与切线垂直的半径方向为小力的最有效方向。当时，可认为需施加的力与原力方向垂直时作用的效果最为明显。（3）分析图示装置的力学原理图示A、B两点的受力为两个力三角形如图示，则：当较小时，很大，即可用很小的力拉动很大的力五、自动向上滚的论子（1）与力