2012年全国高中数学联赛(湖北)赛区预赛试卷(高二)

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1、2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数的值域为________________．2．已知，，则_______________．3．已知数列满足：为正整数，如果，则．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_____

2、__________．6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为_______________．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为_______________．8．设表示不超过的最大整数，则．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．10．已知正实数满足，且，求的取值范围．11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．()2012年全国高中数学联合竞赛湖北

3、省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数的值域为．2．已知，，则．3．已知数列满足：为正整数，如果，则5．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为185．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，

4、为．8．设表示不超过的最大整数，则2012．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．解在已知等式两边同时除以，得，所以．------------------------------------------4分令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以.------------------------------------------8分所以,即.------------------------------------------12分于是，当时,，因此,-----

5、-------------------------------------16分10．已知正实数满足，且，求的取值范围．解令，，则．----------------------------------------5分令，则，且．------------------------------10分于是．------------------------------15分因为函数在上单调递减，所以．又，所以．--------------------------------------20分11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别

6、是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．解所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而．则．所在直线的方程为，其中，同理可得．------------------------------------------5分（1）当时，，，，，．又，故，于是△的面积，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为.------------------------------------------10分（2），所在直线的方程为，即．-----------------------------------------

7、-15分又，即，代入上式，得，即．当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点．------------------------------------------20分