《概率与统计》常见错误及教学研究

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1、《概率与统计》常见错误及教学研究广东广雅中学数学科黄淑珍论文摘要概率与统计是《普通高中数学课程标准（实验）》[1]（下称《标准》）的重要内容，也是高考一大热点，该内容已经成为高中数学的主干知识，主要考查学生基础知识、基本方法、数据处理能力和应用意识。关键词概率与统计概念思想方法应用概率与统计是高中数学相对独立的内容,不论是内容还是思想方法,都与其他章节有较大的不同,笔者在教学过程中发现学生在概率应用方面还存在许多误区。下面就学生们在解题中常见错误分类辨析如下：类型一概念混淆概率与统计试题主要考查基

2、本概念和基本公式，等可能性事件的概率；互斥事件的概率；独立事件的概率；事件在次独立重复试验中恰发生次的概率及离散型随机变量分布列和数学期望等。内容中容易混淆的概念主要有以下几个：1、“非等可能”与“等可能”例[5]（古典概型）：掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率。错解：掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…112/112，12共11种基本事件，所以概率为。剖析：以上11种基本事件并不是等可能的，如点数和为2的只有(1，1)，而点数和为6的有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，

3、1)共5种。事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为。例[5]（几何概型）：如图1，在等腰中，过直角顶点在内部任作一条射线与线段交于点，求的概率。图1图2错解：在上取，在内作射线看作在线段上任取一点，过、作射线，则概率为。剖析：如图2，在内部任作射线，则射线落在内的概率是一定的，但的值是变化的。正解：在内的射线是均匀分布的，所以射线在任何位置都是等可能的，在上取，则,故满足条件的概率为。变式：如将“在内部任作一条射线”改为“在线段取点”，则解法就改变了，

4、答案为112/112。此类题目容易与长度几何概型混淆，要特别留意。2、“互斥”与“对立”例：把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上均不对错解：A剖析：本题错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明

5、这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选C。3、“互斥”与“独立”例：甲投篮命中率为，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则所求事件为，。剖析：本题错误原因是把相互独立同时发生的事件当成了互斥事件。正解：设“甲恰好投中两次”为事

6、件A，“乙恰好投中两次”112/112为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，于是点评：互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的。4、“条件概率”与“积事件的概率”例：袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率。错解：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以

7、.剖析：本题错误在于与的含义没有弄清,表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。正解：对策：纵观新课程下的概率统计试题[3]，大多都是从课本上习题改编，或者是由教材例题、习题的组合加工而成，充分体现了教材的基础作用。因此我们在教学、复习阶段应把握课标，夯实基础，以课本的例、习题为素材加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，做到“以不变应万变”。类型二数学思想方法应用不灵活概率是《标准》[1]112

8、/112引入后的内容，在高中教学中，它以融入大量的数学思想方法著称，如分类讨论、等价转化思想、整体思想、数形结合、数学建模思想等，因此熟练应用常见的数学思想方法是很有必要的。（1）等价转化思想例：分别在区间和内任取一实数，依次记为和，则的概率为（）A.B.C.D.剖析：本题很多学生无从下手，主要原因是不明白题意，不懂得等价转化。正解：图像和可能取值情况如图3所示，满足情况的是图中的阴影部分，故答案选D。mn16240图3图4（2）数形结合思想例：如果事件互斥，那么（）A.是必然事件