古典概率计算中常见的错误及策略探究

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1、古典概率计算中常见的错误及策略探究　　摘要：为了分析学生在古典概率计算中常见的错误，特举出相关案例进行分析，得出了古典概率计算错误的主要类型，并分析其错误产生的原因，最后归纳总结提出对策。　　关键词：古典概率；常见错解；错因分析　　中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1674-120X（2016）26-0040-02收稿日期：2016-07-20　　作者简介：莫庆美（1963―），女，广西蒙山人，贺州学院副教授，研究方向：高等数学与微分方程教学。　　一、古典概率计算中常见错误案例　　1.审题不清致错　　例1摄影师给6位同学拍照留

2、念，他们的身高全不相同，要求前后两排各3人，那么后排每人均比前排同学高的概率是。　　错解：据对称性可知，一共6个人，最高3个和最矮3个，各一半，那后排每人比前排同学高的概率为P=12。　　剖析：由于审题不清，误求前排3名均比后排相对应3名同学高的概率。前排每人比后排每人都高，所以可以将6人中最矮的3个人放在前排，其余3人站后排，而且每个都不同还需要排列，故所求概率为P=A33A33A66=120。6　　教学启迪：该例题说明了在古典概型下计算事件概率的基本方法，同时也看到古典概型下事件的计算需要有较高的技巧性，有些问题的计算还是相当困难的。但

3、学者只需掌握最基本的方法，对典型几类问题会计算即可。　　2.计算基本事件总数致错　　例2有4只纸箱，现将3份不同礼物随机地放入纸箱中去，求纸箱中礼物的最多份数分别为2的概率。　　错解1：P=C13C14C23A34　　错解2：P=C23C13C1434　　剖析：计算过程由于基本事件总数错误，导致结果出错；因为每份礼物都有4种放法，所以样本空间的基本事件总数为43。纸箱中最多的份数为2，则先选礼物C23，再选纸箱的选法有C14；剩下的1只从3个纸箱中任选一个即C13，故所求事件包含基本事件数为C23C13C14，于是P=C13C14C2343

4、=916。　　教学启迪：在教学过程中更应该注意强调是礼物选纸箱，而非纸箱选礼物，处理基本事件总数，也要注意是组合还是排列，本例未涉及排列部分。　　3.运用公式P（A?B）=P（A）?P（B），忽视事件的独立性致错　　例3某校派a、b两名同学去参加市区普法知识竞答，有10道不同的题目，其中6道选择题、4道判断题，a、b两名同学依次各抽一题，a同学抽到选择题、b同学抽到判断题的概率是？6　　错解：设A、B分别表示a同学抽到选择题、b同学抽到判断题的事件，即选择题概率为0.6，判断题概率为0.4，那么P（A?B）=P（A）?P（B）=0.6×0.

5、4=0.24。　　剖析：因为事件A与B的发生不独立，所以解法错误。a同学可以从6道选择题中任选一道即C16种，b同学从4道判断题中任选一道即C14，样本总数即C110?C19。所以正确答案如下：P=C16?C14C110?C19=415。　　4.分不清组合与排列致错　　例4小明买了10张各不相同奖券，已知这10张奖券中只有3张中奖，如果小明每次只打开1张，那么前3次打开奖券中恰有1次中奖的概率是？　　错解：小明所买的奖券中奖率是0.3，不中奖率是0.7，故前3个购买者中恰有1次中奖的概率，第一步从那3张任取一张即C13×0.3，第二步从7张

6、任选两张即C27×0.72，所求P=C13×0.3×C27×0.72。　　剖析：由上述结果可以看出，结果错了。该解法忽略了独立重复试验的特点，即各事件的发生应是相互独立的。如果前3次打开奖券中，第1次打开就中奖了，那么再中奖率，就不再是0.3了，如果有一次不中奖概率是0.7，下一次不中奖概率就不再是0.7。所以该题用到的是排列而非简单组合，正确答案应是　　P=3×A13×A27A310=0.525。　　5.审题不清，忽视事件“有序”与“无序”致错　　例5在某次试验中把3枚硬币一起掷出，那么出现一枚反面向上，而另两枚正面向上的概率是多少？　　

7、错解：先出现一反面后出现两正面是一种结果，故所求概率P=18。　　剖析：在所有8种结果中，6一反两正没有说是按顺序的，而是理解为两枚正面向上、一枚反面向上的所有情况。设事件正面向上为H，反面向上为T，基本事件为A，总样本数为S。则3枚硬币掷出所有可能的结果有S=（HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT），而两正一反A=（HHT，HTH，THH），因此，所求概率P=38。　　教学启迪：由于审题不清，更容易忽视事件“有序”与“无序”的情况，题意中并没有说明两正一反是按顺序，而是说所有情况，把掷硬币出现的8种结果看作等可能

8、性，然而把事件A的3种结果看作1种结果，也不符合古典概型的等可能性事件了，因此求概率的基本事件自然就会发生错误。　　6.对概率论中的一些常用术语理解有误致错　　例6人民公园有一项