第六讲基本图形与几何问题的计算与证明

《第六讲基本图形与几何问题的计算与证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第六讲　基本图形与几何问题的计算与证明平面几何主要研究的是平面图形的形状、大小和相互的位置关系.基本图形：指的是学习中的重要定义、公理、定理、推论等所对应的图形.每一个重要的基本图形常常具有相应的综合性，对应多个重要的知识点，掌握基本图形有利于添加辅助线构造基本图形，有利于探求思路拓宽条件．例1己知：如图，AB⊥AE于点A，∠AED=120°，∠EDC=30°，求证：AB∥CD解法1：如图(1)延长AE与CD相交于F．∵AB⊥AE于A，∴∠BAE=90°∵∠AED=∠EFD+∠D，∠AED=120°，∠D=

2、30°∵∠EFD=90°∴∠A+∠EFD=180°∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)解法2：又如图(2)延长BA、DE交于F．∵AB⊥AE于A∴∠FAE=90°∠AED=∠FAE+∠F又∠AED=120°∴∠F=30°∵∠D=30°∴∠D=∠F∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)我们还可以这样来做：解法3：作直线MN，分别与B交于A，与DC交于N．同(1)可证∠MAB=∠END，∴AB∥CD(同位角相等两直线平行)例2己知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过D作直线DE平行于AC，又过B作直线B

3、E平行于AD，两直线交于E，连结EC．求证：S△DCE=S△CAB．证明：连结BD、AE∵AC∥DE，∴S△DEC=S△DEA．∵AD∥BE，∴S△DAE=S△DAB∵DC∥AB，∴S△DAB=S△CAB．∴S△DCE=S△CAB这个图形的两条直线平行，由于平行线间的距离相等，所以在平行线中等底上所加的三角形的面积，一定是相等的．这个基本图形能帮助我们解决比较难以找到的等积形式．它对我们今后学习解决面积问题有极大的帮助，希望同学们注意．例3在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AG⊥BE

4、于G，AH⊥ICF于H，求证HG∥BC．分析：两条直线的位置关系：两条直线在同一平面内，有相交与平行两种，相交中的特例：当交角是90°时，两直线垂直．不相交则平行．题目中给了两个重要条件，一个是角平分线，一个是垂直．当一个角被平分以后，有一条直线与角平分线垂直，这就形成了一个基本图形，也就是等腰三角形三线合一的基本图形．根据三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，因此可以得到HG∥MN．也就是HG∥BC证明：延长AH、AG分别与BC交于M、N．∵BE平分∠ABC，AG⊥BE于G∴△AB

5、G≌△NBG．则AG=GN.同理，AH=HM．∴HG是△AMN的中位线．∴HG∥MN，即HG∥BC．例4已知：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，BD⊥AD于D交BC于E．求证：AE=2DB．证明：延长AC、BD交于F．∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2．∴AD⊥BD于D，∴∠FDA=∠BDA=90°．又AD=AD，∴△ADF≌△ADB(ASA)．∴BD=DF，即BF=2BD．∵∠ACB=90°，∠ADB=90°∠CEA=∠DEB．∴∠1=∠3．在△AEC和△BFC中，∵∠1=

6、∠3，AC=BD．∠ACB=∠BDE，∴△AEC≌△BFC(ASA)．∴AE=BF．∴AE=2BD．例5己知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别是AB和CD的中点，求证：MN⊥CD．证明：连结DM，CM∵∠ACB=∠ADB=90°，AM=MB．∴DM=AB，CM=AB．∴DM=CM．∵N是DC中点，∴MN⊥DC例6己知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，使∠EDF=90°，求证：EF2=BE2+FC2．分析：这道题目要求证的是EF2=BE2+FC2，只有在直角三

7、角形中，两条直角边的平方和才等于斜边的平方，所以要构造直角三角形．证明：延长ED到G，使ED=DG，连结FG．∵D是BC中点，BD=DC，∠BDE=∠CDG，∴△BDE≌△CDG．∴ED=DG，BE=GC，∠B=∠DCG．∵FD⊥EG．∴EF=FG．∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°．∵∠ACB+∠DOG=90°．在Rt△FGC中，由勾股定理，得EF2=CG2+CF2EF2=BE2+CF2这道题启发我们，通过添加辅助线可以把相应的边和角转移到另一个地方去，把分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，把

8、已知和未知连接起来，这就是添加辅助线的重要目的．具体添加辅助线的方法就要根据题目的已知条件，结合所学的知识去分析、去构造．例7(1)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，求证：△BED是等腰三角形．证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．∵DE∥BC，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴BE=DE．即△BED为等腰△．(2)如图，△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，DE∥BC，求证：DE=BD+