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时间:2018-07-22
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1、北京新课改高考理科数学最后一题(创新题)汇编20.(03)(本小题满分14分)设是定义在区间上的函数,且满足条件,①②对任意的、,都有(Ⅰ)证明:对任意,都有(Ⅱ)证明:对任意的都有(Ⅲ)在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得若存在请举一例,若不存在,请说明理由.20.(04)(本小题满分13分)给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的,称为第一组余差;然后,在去掉已选入第一组的数后,对余
2、下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为;如此继续构成第三组(余差为)、第四组(余差为)、……,直至第N组(余差为)把这些数全部分完为止.(I)判断的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数;(II)当构成第n(n3、单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(I)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x*,1)为含峰区间;(II)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;(III)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2,由(I)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,4、试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)(20)(06)(本小题共14分)在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.1420.(07)(本小题共13分)已知集合,其中,由中的元素构成两个相应的集合:,.其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的,总5、有,则称集合具有性质.(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和;(II)对任何具有性质的集合,证明:;(III)判断和的大小关系,并证明你的结论。20.(08)(本小题共13分)对于每项均是正整数的数列,定义变换,将数列变换成数列.对于每项均是非负整数的数列,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;又定义.设是每项均为正整数的有穷数列,令.(Ⅰ)如果数列为5,3,2,写出数列;(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当14时,.20.(09)(本小题共13分)已知6、数集具有性质;对任意的,与两数中至少有一个属于.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;(Ⅱ)证明:,且;(Ⅲ)证明:当时,成等比数列..k.s.5.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(20)(10)(本小题共13分)已知集合对于,,定义A与B的差为A与B之间的距离为(Ⅰ)证明:,且;(Ⅱ)证明:三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设P,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明:(P)≤.14(20)(11)(本小题共13分)若数列满足,数列为数列,记=.(Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;(Ⅱ)若,n=20007、,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。14答案解析:20.(03)本小题考查函数、不等式等基本知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当时,有即(Ⅱ)对任意的,当当不妨设则从而有总上可知,对任意的,都有(Ⅲ)答:这样满足所述条件的函数不存在.理由如下:假设存在函数满足条件,则由得
3、单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(I)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x*,1)为含峰区间;(II)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;(III)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2,由(I)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,
4、试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)(20)(06)(本小题共14分)在数列中,若是正整数,且,则称为“绝对差数列”.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.1420.(07)(本小题共13分)已知集合,其中,由中的元素构成两个相应的集合:,.其中是有序数对,集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的,总
5、有,则称集合具有性质.(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和;(II)对任何具有性质的集合,证明:;(III)判断和的大小关系,并证明你的结论。20.(08)(本小题共13分)对于每项均是正整数的数列,定义变换,将数列变换成数列.对于每项均是非负整数的数列,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;又定义.设是每项均为正整数的有穷数列,令.(Ⅰ)如果数列为5,3,2,写出数列;(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当14时,.20.(09)(本小题共13分)已知
6、数集具有性质;对任意的,与两数中至少有一个属于.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;(Ⅱ)证明:,且;(Ⅲ)证明:当时,成等比数列..k.s.5.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(20)(10)(本小题共13分)已知集合对于,,定义A与B的差为A与B之间的距离为(Ⅰ)证明:,且;(Ⅱ)证明:三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设P,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明:(P)≤.14(20)(11)(本小题共13分)若数列满足,数列为数列,记=.(Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;(Ⅱ)若,n=2000
7、,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。14答案解析:20.(03)本小题考查函数、不等式等基本知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当时,有即(Ⅱ)对任意的,当当不妨设则从而有总上可知,对任意的,都有(Ⅲ)答:这样满足所述条件的函数不存在.理由如下:假设存在函数满足条件,则由得
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