导数2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(专题八)

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1、2015年高考数学试题分类汇编及答案解析专题八：导数及其应用1.（2015年北京理科）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为【解析】（Ⅰ），曲线在点处的切线方程为；（Ⅱ）当时，，即不等式，对于成立，设，则求得，当时，，故在上为增函数，则，因此对，成立；（Ⅲ）使对恒成立，等价于对成立，设，，则，当时，，函数在上为增函数，，符合题意；21当时，令，，极小值，不成立，综上所述可知：的最大值为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数

2、研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2.（2015年北京文科）设函数．（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（Ⅱ）证明详见解析【解析】（Ⅰ）由，得，由，解得，所以与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而，当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点，当时，21在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点；综上可知，若存在零点

3、，则在区间上仅有一个零点.【考点】1.导数的运算，2.利用导数判断函数的单调性，3.利用导数求函数的极值和最大、最小值，4.函数零点问题.3．（2015年安徽理科）设函数.（I）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（II）记，求函数在上的最大值；（III）在（II）中，取，求满足时的最大值.【答案】（I）极小值为；（II）；（III）【解析】（I）由，得：而；当时，函数在单调递增，无极值，当时，函数在单调递减，无极值，当时，函数在内存在唯一的零点，使得，且时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以时，函数有最小值，；（

4、II）当时，，当时，取等号成立，当时，取等号成立，可知21在上的最大值为；（III）当即，而，得到，这是取满足且，由此可知，满足条件的最大值为.【考点】1.函数的单调性、极值与最大（小）值；2.绝对值不等式的应用.4.（2015年安徽文科）已知函数，（I）求的定义域，并讨论的单调性；（II）若，求在内的极值.【答案】（I）递增区间是，递减区间为和；（II）极大值为；无极小值【解析】（I）由题意可知即，所以的定义域为，又，而，令，令或，所以得的单调递增区间为，单调递减区间为和；（II）由（I）可知在内的极大值为，在内无极小值；所以在内极

5、大值为，无极小值.【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.5.（2015年福建理科）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（A）（B）（C）（D）21【答案】C【解析】由已知条件，必须构造函数，则，所以在上单调递增，而，故即，所以本题一定错误的是选项C，而A、B、D选项不能确定.【考点】函数与导数．6.（2015年福建理科）已知函数(I)证明：当时，；(II)证明：当时，存在,使得对任意恒有；(III)确定的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．【答案】(I)详见解析；(II)详见解析；(III)【

6、解析】(I)令则有，当,所以在上单调递减；故当时，，即当时，；(II)令则有，当时，,所以在上单调递增,，即，故对任意正实数均满足题意，当时，令，得，取，对任意，恒有,所以在上单调递增,21,即，综上，当时，总存在,使得对任意的恒有；(III)法一：当时，由（I）知，对于，故，令，则有，故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的不存在，当时，由（II）知存在,使得对任意的任意的恒有，此时,令，则有，故当时，在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当时，恒有，故满足题意的不存在，当，由（I）知，当，令则有，当时，,所以在上单调递减，

7、故,故当时，恒有,此时，任意实数满足题意，21综上，只有.法二：当时，由（I）知，对于，故，令，解得，从而得到当时，对于，恒有,所以满足题意的不存在，当时，取，由（II）知存在,使得任意恒有，此时,令解得，此时,记与中较小的为，则当时，恒有，故满足题意的不存在，当，由（I）知，当，令，则有，当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数满足题意，综上，只有.【考点】导数的综合应用．7.（2015年福建文科）“对任意”，是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B

8、【解析】当时，，构造函数，则，所以在单调递减，故得21，则成立；而当时，不等式等价于，构造函数，则，所以在单调递减，故得，得到也成立；综上“对任意”，是“”的必要不充分条件.【考点】导数的应用．8.（2015年福建文科）