第四章 中值定理，导数的应用

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1、第四章中值定理，导数的应用（A）1、设f(x)=lnx，在[1,e]上求ξ的值使拉格朗日定理的结论成立.2、不求导数，判断函数的导数有几个实根，以及其所在范围.3、证明：方程在[0,1]上至多有一个实根（c为任意常数）.4、不求导数而根据罗尔定理证明：函数在区间内必有一点c，使=0.5、设多项式P(x)=ao+a1x+…+anxn的系数满足证明：在(0,1)内必有零点.6、证明方程只有一个实根.7、设f(x)在（a,b）内二阶可导，且f″(x)≠0，,f(x)在(a,b)内至多有一个驻点.8、试证明：如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2－3ac<0，则这函数没有极值.9、

2、若f(x)是[a,b]上的正值可微函数，则有点ξ∈(a,b)，使.10、设f(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导，求证存在一点，使得11、设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，证明存在ξ∈(0,1)，使得：12、对函数f(x)=sinx，g(x)=1+cosx在区间上验证柯西中值的正确性.13、设f(x)在[0,1]上可微，证明：一定存在ξ∈(0,1)，使得=2ξ[f(1)－f(0)].14、设ab>0，f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明存在ξ∈(a,b)使得32.15、证明：,x∈[－1,1]16、设x>－1，证明不等式17、当x>1时试证不等式e

3、x>ex成立.18、利用罗彼塔法则求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（a>0,a≠1）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）19、求下列函数的增减区间（1）y=x3－3x+1（2）（3）（4）（5）20、证明下列不等式（1）当x>0时，（2）当时，21、证明方程只有一个实根.22、求下列函数的极值（1）（2）32（3）（4）23、试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.24、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值.（1）（2）（3），（4），（5），25、证明：（1）周长一定的矩形中，正方形面积最大；（2）面积一定的矩形中，

4、正方形周长最小.26、有一块等腰直角三角形钢板，斜边长为a，欲从这块钢板中割下一块矩形，使其面积最大，要求以斜边为矩形的一条边，问如何载取？27、某客商以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为Q=40－2P，问应将价格定为多少时，才能获得最大利润？28、设商品需求量Q=75－P2，其中P为商品的价格，求最大总收益.29、确定下列函数的凹向及拐点：（1）y=x3－x4（2）y=x2+lnx（3）（提示：不存在，经验证不是拐点）（4）30、求下列曲线的渐近线（1）（2）（3）（4）31、作下列函数的图形（1）（2）（3）32、试确定p的取值范围，使得与x轴32（1）有一个

5、交点（2）有两个交点（3）有三个交点（B）一、选择题1、设f(x)，g(x)在点x0处可导，且f(x0)=g(x0)=0,g(x)，f(x)在x0处二阶导数存在，则点x0（）.（A）不是f(x)g(x)的驻点；（B）是f(x)g(x)的驻点，但不是极值点；（C）是f(x)g(x)的极大点；（D）是f(x)g(x)的极小点；2、设x0是f(x)的驻点，g(x)可微，且g(x0)≠0，则x0是（）.（A）f(x)g(x)的驻点；（B）的驻点；（C）的驻点；（D）的驻点3、设f(x)有二阶连续导数，且则（）.（A）f(0)是f(x)的极大值；（B）f(0)是f(x)的极小值；（C）(0，f

6、(0))是曲线y=f(x)的拐点；（D）f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点.4、设f(x)在x=0处的一个邻域内有定义，且f（0）=0，如果，则f(x)在x=0处（）.（A）不可导；（B）驻点（C）（D）5、设函数y=y(x)由方程所确定，要使x=1是y=y(x)的驻点，且曲线y=y(x)通过(1，1)，则（）.（A）a=2，b=3;（B）;（C）;（D）326、设常数则方程f(x)=0在区间（）内的实根个数（）.（A）0；（B）1；（C）2；（D）随a而定提示：因f(0)≠0,故φ(x)=与f(x)的实根相同，讨论φ(x)的实根.7、在区间(

7、)内方程的实根个数是（）.（A）0；（B）1；（C）2；（D）无穷多提示：令，是偶函数，先讨论内的实根个数。8、函数的图形是（）.（A）()是上凹的；（B）()是下凹的；（C）()是下凹的；()为上凹的；（D）()是上凹的；()为下凹的；9、若在区间（a,b）上函数f(x)的一阶导数，二阶导数，则函数f(x)在此区间内是（）（A）单调减少，曲线上凹；（B）单调增加，曲线上凹；（C）单调减少，曲线下凹；（D）单调增加，曲线下凹；10、曲线（）（A）没有渐近线