中值定理-导数的应用

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1、莫兴德广西大学数信学院Email:moxingde@gxu.edu.cn微积分链接目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习参考书[1]赵树嫄.微积分.中国人民出版社[2]同济大学.高等数学.高等教育出版社第四章中值定理中值定理第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。我们知道，函数在区间上的增量可用它的微分来近似计算其误差是比高阶的无穷小是近似关系是极限关系,都不便应用我们的任务

2、是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange中值定理给出了圆满的解答：——导数应用的理论基础本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理就可以给出Taylor中值定理及L，Hospital法则，这就是本章理论部分的主要内容。理论部分结构图Lagrange定理特例Rolle定理推广Cauchy定理推广Taylor定理本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性

3、和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了L，Hospital法则，可以进一步讨论等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和单调性还可证明一些不等式。重点微分中值定理L，Hospital法则Taylor公式求函数的极值和最值难点中值定理L，Hospital法则的运用利用中值定理证明不等式基本要求①正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之间的关系②熟练运用L—法则求未定式的极限③掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记的Taylor公式④熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性来证明不等式⑤正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定

4、条件及求法⑥掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点⑦会用中值定理证明不等式先讲中值定理，以提供必要的理论基础一、罗尔(Rolle)定理定理(Rolle)若函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间(a,b)内可导（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)例如,几何解释:若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.证注①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：y=x2

5、在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3)却在(-1,2)内有一点x=0使但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。例如,又例如,在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件再例如在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，如在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而但却不易找到使但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会

6、看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,例2证明至多有三个实根证直接证明有困难，采用反证法设有四个实根连续、可导对用罗尔定理得连续、可导对用罗尔定理得连续、可导对用罗尔定理得矛盾得证结论成立二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理推论1推论2例2证例3证由上式得例4证Lagrang

7、e定理例5设抛物线与x轴有两个交点函数f(x)在[a,b]上二阶可导曲线y=f(x)与抛物线在（a,b）内有一个交点证明证如图所示oxyy=f(x)abcMN由罗尔定理，得再由罗尔定理，得三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数Cauchy定理又称为广义微分中值定理例6证分析:结论可变形为例7设f(x)在x=0的某邻域内具有二阶导数，且试证证由题设知满足Cauchy定理的条件由Cauchy公式得再对函数应用Cauchy公式，有若f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数，且——这就是Taylor公式例8设f(x)在[a,b]上连续，在

8、(a,b)内可导，证明证f(x)在[a,b]上满足Lagrange定理的条件满足Cauchy定理的条件满足Cauchy定理的条件注这类所谓多中值问题的