中值定理导数的应用模板

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1、第三章　微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、费马（Fermat）定理设在点的某邻域内有定义，且在点可导．如果恒有成立，则．注：Fermat定理的几何意义是：101如果在点的值不小于邻近的函数值（或不大于邻近的函数值），只要在点曲线有切线，其切线必为水平的．二、罗尔(Rolle)定理如果函数满足：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）则在内至少存在一点，使注：（１）Rolle定理的几何意义是：如果每一点都有切线的连续曲线AB：101，在A，B两点有相同的纵坐标，则A，B之间至少存在一点P，曲线在点P有水平切线．　（２）Rolle定理的

2、条件是充分而非必要，即当定理的条件不满足时，结论也可能成立．如在内可导，尽管在上不连续，但还是有．【例】设，证明有三个实根．提示：且在三个区间和上都满足Rolle定理的条件．101在内分别至少存在一点使．即至少有三个实根．又是三次方程，最多只有三个实根．综上可得：有三个实根．【例】设在上连续，在内可导且，．证明：在内至少存在一点使．分析：要证明只需证明101只需证明只需证明只需证明即可．提示：令，在上连续，在内可导，在上连续且在内可导．由可得即在上满足Rolle定理的条件，则在内至少存在一点使，，101由得【例】设在上连续，在内可导且证明：在

3、内至少存在一点使提示：令，可验证在上满足Rolle定理的条件，则在内至少存在一点使即思考题：设在上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使．101提示：令．三、拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数满足：（1）在上连续；（2）在内可导．则在内至少存在一点，使注：（１）Lagrange定理的几何意义是：如果连续曲线ＡＢ：每一点都有切线，则A，B之间至少存在一点P，曲线在点P的切线平行A，B两点的连线．　（２）Lagrange定理的条件是充分而非必要．101即当定理的条件不满足时，结论也可能成立．如在内可导，尽管在上不连续，但在内还是存在

4、满足定理的结论．推论1：如果在内，则在内为一常数．推论２：若在内则（常数）．101【例】若，证明提示：设它在上满足Lagrange定理的条件，则在内至少存在一点，使由于，由可得101【例】若证明提示：令它在或上满足Lagrange定理的条件．当时，则在内至少存在一点，使101当时，则在内至少存在一点，使．．综上可得：当，有.四、柯西（Cauchy）中值定理如果函数和满足:（1）在上连续；（2）在内可导且则在内至少存在一点，使101注：（１）在柯西（Cauchy）中值定理中令就得到拉格朗日（Lagrange）中值定理．　　（２）柯西（Cauch

5、y）中值定理的条件是充分而非必要，即当定理的条件不满足时，结论也可能成立．【例】设证明：101提示：在处可导，在处连续，由Lagrange定理得：在0与之间至少存在一点使得由得单调增加．当时，101当时，当时，综上可得：【例】已知在上有连续导数，且证明：在内有且仅有一个零点．提示：单调增加，又从而在内最多有一个零点．当时，由已知得在上满足Lagrange定理101的条件，在0与之间至少存在一点使得由此，又由零点定理可知，在内至少有一个零点．综上可得：在内有且仅有一个零点．【例】假设在上存在二阶导数，并且证明：（１）在内101（２）在内至少存在

6、一点使得提示：（１）假设使则由Rolle定理，使再由Rolle定理，使与在内矛盾．所以，在内　　（２）要证只需证明在内存在零点．令则在上满足101Rolle定理的条件，使得作业：习题３－１６　７　８　９　101１０　１１　１２　１４第二节洛必达（）法则若在的某一个变化过程中，函数与同时趋于0或同时趋于，这时极限可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为型或型的不定式．101如:一、型不定式定理：设函数与满足：（１）在点的某去心邻域内可导且（２）（３）101存在（或）．则也存在（或）且【例】计算：提示：原式101提示：原式注：(1)此法则对于时

7、的型亦适用．如：101(2)并不是任何的型不定式都能用洛必达（）法则.当洛必达法则条件不满足时，就不能使用．如:而用洛必达法则，那么不存在.101(3)由于数列没有导数,所以,数列的极限不能用洛必达（）法则.如:这种求法是错误的.我们可以使用洛必达（）法则求相应的函数的极限可以推之数列极限(4)不能用法则证明极限.101因为在这个过程中运用了导数公式,而的推导又用到了,从而在逻辑上产生了恶性循环.所以,不能用法则证明极限.(4)只要满足法则的条件,在同一个题中可以多次使用法则.101二、型不定式定理：设函数与满足：（１）在内可导且（２）（３）

8、存在（或）．101则也存在（或）且注:(1)此法则对于时的型亦适用．(2)并不是任何的型不定式都能用洛必达（）法则.当洛必达法则条件不满足时，就不能使用．(3)只要