中值定理和导数的应用

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1、第三章中值定理和导数的应用第三章中值定理和导数的应用数学家----伯努利家族第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数的单调性急值和最大最小值第四节曲线的凹凸性和函数作图第五节弧微分曲率数学家------伯努利家族第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数的单调性极值和最大最小值第四节曲线的凹凸性和函数作图第五节弧微分曲率伯努利家族，这个非凡的瑞士家族产生过十一个数学家的家族。伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。⑴雅科布·伯努利（JakobBer

2、noulli,1654～1705)。巴塞尔大学教授。变分法的创始人之一。曾和莱布尼茨共同获得过微积分学的不少结果，对常微分方程的积分法有贡献，也是概率论的早期研究者，提出了关于大数法则的伯努利定理及伯努利数。⑵约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）。雅科布的弟弟。巴塞尔大学的医学博士。历任荷兰格罗宁根大学和巴塞尔大学教授。也是变分法的创始人之一。在微积、微分方程、几何和力学方面有贡献。⑶丹尼尔·伯努利(DanielBernoulli,1700～1782)。约翰的次子。巴塞尔大学医学博士。曾去俄国彼得堡科学院任教，回国后任巴塞尔大学教授。在流体力学、

3、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有贡献。1738年出版《流体动力学》一书，提出的著名的伯努利定理。他解决的微分方程现称为伯努利方程。伯努利家族返回§3.1微分中值定理3.柯西定理返回2拉格朗日定理1罗尔定理核心是拉格朗日中值定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。我们首先介绍罗尔定理微分中值定理导数与应用的桥梁微分学的理论基础返回则至少存在一点一、罗尔定理（iii）f(a)=f(b).设函数f(x)满足：证:f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m.则f(x)在[a,b]上恒为常数，因此f(x)0，定理1（罗尔定理）（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）

4、在开区间(a,b)内可导；所以对于任一点(a,b)，(1)若M=m，使由(i)知:都有f()=0；返回否则f(x)必恒为常数。则M和m之中至少有一个不等于f(a)，设在点(a,b)处，函数f(x)取得最大值f()=M，都有f(x)f()，即f(x)f()0.由条件(ii)，f(x)在点可导，于是，当x>0时，从而，(2)若Mm，不妨设Mf(a)，即最大值M不是端点处的函数值。则对一切x(a,b)，返回同理,当x<0时,有因导数存在,所以OABCabxy几何解释:返回如图3.1.2(b)注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满

5、足,其结论可能不成立.如图3.1.2(a),函数f(x)=x,0≤x＜10,x=1它在闭区间［0,1］上不连续；返回如图3.1.2(c)，函数f(x)=x2，在闭区间［0,1］上端点处函数值不相等.图3.1.2返回例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,返回二、拉格朗日定理（分析）要证即只需证：以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明.定理2(拉格朗日定理)设函数f(x)满足：（i）在闭区间[a,b]上连续；则至少存在一点(a,b)，使（ii）在开区间(a,b)内可导，返回令由罗尔定理知，至少存在一点使得即该公式对ab均成立。证明或返回几何解释:若令f(a)

6、=f(b)，则结论成为f()=0。可见,罗尔定理是拉格朗日定理的特例。返回公式可写成下列形式:拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理又称有限增量定理.返回推论1设函数f(x)在区间I上可导，且f(x)0，则f(x)在I上为常数。证在I内任取两点x1和x2，不妨设x1

7、广.因为g(x)=x时,柯西定理的结论恰是拉格朗日定理的结论.则至少存在一点(a,b)，使（ii）在(a,b)内可导，且g(x)0，三、柯西定理设f(x)及g(x)满足:返回§3.2洛必达法则一、引言1、“”型不定式2、“”型不定式3、其它类型不定式1.“”型不定式.定理3.2.1如果函数f(x)和g(x)满足(1)当x→a时，f(x)→0，g(x)→0，(2)在点a的去心邻域内可导，即f′(x)，g′(x)存在，且g′(x)≠0,(3)极限存在(或为无穷大)，则返回显然，当x→a时，ξ→a.于