第四章 中值定理与导数的应用

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1、第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值11，判断函数的单调性和求函

2、数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。第一节中值定理一、罗尔定理（Rollo法1652—1719）1．定理①在上连续②在内可导③则至少注：11①在上连续连续曲线，且在端点左、右连续。②在内可导曲线光滑且曲线上每一点有不垂直于轴的切线③则至少弧上至少存在一点切线的斜率为0，即切线平行于轴2.几何意义如果连续光滑曲线在两端点处的纵坐标相等，那么曲线上至少有一点的切线平行于轴11例1，验证罗尔定

3、理的正确性。注：确定区间的端点使，一般就是方程的根。例2不求导数，判断的导数有几个实根，以及其所在范围。二阶导数有几个实根？在上满足Rollo中值定理至少113．注：三条件缺一不可，但反之未必成立。P124一、拉格朗日中值定理（Lagrange法，1736——1813）1．定理①在上连续②在内可导则至少注：则至少11弧上至少存在一点切线平行于割线AB2.几何意义3．重要推论①在内，在内，②在内，在内，例（补充1）(920306)(利用中值定理证明恒等式)当时，求证：11例1，，求的值使Lagrange公式成立例2证明不等式，例（

4、补充2）（910406）证明：当时，求证：例（补充3）（利用中值定理求极限）设求114．Lagrange定理的其它形式：①②5．Rollo定理与Lagrange定理的关系6．Lagrange定理的物理意义（补充）①在时间内走过的距离②11在时间内的平均速度③在时刻的瞬时速度④Lagrange定理的物理意义：在这段时间内，至少有一时刻，在该时刻的瞬时速度=这段时间的平均速度。一、柯西定理（Cauchy法1789—1857）1．定理①在上连续②在内可导③则至少11一、三定理的关系（比较条件、结论、图形）Rollo定理Lagrange

5、定理Cauchy定理11练习：P193/2（2）下列函数在给定区间上是否满足Lagrange定理的所有条件？如满足，求出定理中的数值（2）作业：课堂练习3——1：2习题3——1：1，2（2），4，7，8，10，12，14（1）（4）——（7），15（1）（3），16——1811